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编程之美上给出的规律：
1. 如果第i位（自右至左，从1开始标号）上的数字为0，则第i位可能出现1的次数由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10i-1。
2. 如果第i位上的数字为1，则第i位上可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响（若没有低位，视低位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10i-1+（低位数字+1）。
3. 如果第i位上的数字大于1，则第i位上可能出现1的次数仅由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于（更高位数字+1）X当前位数的权重10i-1。
二、X的数目
这里的 X∈[1,9] ，因为 X=0 不符合下列规律，需要单独计算。
首先要知道以下的规律：
依此类推，从 1 至 10 i ，在它们的左数第二位（右数第 i 位）中，任意的 X 都出现了 10 i?1 次。
这个规律很容易验证，这里不再多做说明。
接下来以 n=2593,X=5 为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。
现在依次分析这些数据，首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。（也可以这么看，3<X，则个位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（259）X101-1=259）。
然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了 25×10=250 次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。（也可以这么看，9>X，则十位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（25+1）X102-1=260）。
接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了 2×100=200 次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。（也可以这么看，5==X，则百位上可能出现X的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，等于更高位数字（2）X103-1+（93+1）=294）。
最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。（也可以这么看，2<X，则千位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（0）X104-1=0）。
到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。
总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第 i 位包含的 X 的个数时：
相应的代码非常简单，效率也非常高，时间复杂度只有 O( log 10 n) 。
代码：pow（int a , int b）求a的b次方
public int NumberOfXBetween1AndN_Solution(int n,int x) { if(n<0||x<1||x>9) return 0; int high,low,curr,tmp,i = 1; high = n; int total = 0; while(high!=0){ high = n/(int)pow(10, i);// 获取第i位的高位 tmp = n%(int)pow(10, i); curr = tmp/(int)pow(10, i-1);// 获取第i位 low = tmp%(int)pow(10, i-1);// 获取第i位的低位 if(curr==x){ total+= high*(int)pow(10, i-1)+low+1; }else if(curr<x){ total+=high*(int)pow(10, i-1); }else{ total+=(high+1)*(int)pow(10, i-1); } i++; } return total; }
对于high，high不是指某一位而是指一个整数。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Lune-Qiu/p/9162641.html
