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求常微分方程的原理(懒得重新打一遍。。于是把我知乎上的一个相关回答搬过来):
这里介绍一种方法,叫欧拉法,比如,形如:
$$ \left\{ \begin{gathered} \quad \frac{dy}{dx}=f(x,y) \\ y(x_0)=y_0 \end{gathered} \right. $$
的一阶微分方程(注:用数值方法求解时,默认有解且唯一)。
通过初始条件: $$ y(x_0)=y_0 $$
可以计算出: $$ y‘(x_0)=f(x_0,y_0) $$
假设 充分小,则近似的有:
$$ \frac{y(x_1)-y(x_0)}{h} \approx y‘(x_0)=f(x_0,y_0) \quad $$
记 $$ y_i=y(x_i) \quad i=0,1,...,n $$
取 $$ y_1=y_0+hf(x_0,y_0) $$
同样的方法,计算出
$$ y_2=y_1+hf(x_1,y_1) $$
于是得到递推公式:
$$ y_{i+1}=y_i+hf(x_i,y_i) ,h为步长 $$
参考:常微分方程组的数值算法解法 P1~2
例题:求一阶微分方程:
$$ \left\{ \begin{gathered} \frac{dy}{dx}=y \\ y(0)=1 \end{gathered} \right. \\ 步长h=0.01,x=0.10时的值 $$
下面是代码实现:
#include<bits/stdc++.h> int main() { // 欧拉法:yi+1 = yi + h * f(x,y) // double h = 0.001, x = 0.10, y = 1.00; for(double i = 0.00; i <= x; i += h) y += h*y; printf("%.4f\n", y); return 0; }
Output:
1.1157 Process returned 0 (0x0) execution time : 0.420 s Press any key to continue.
精确结果:
e^0.1 1.1051709180756
当h=0.001时:
1.1051 Process returned 0 (0x0) execution time : 0.401 s Press any key to continue.
看起来还是不错的,但精度还是不够,一些特殊方程,或许需要更高的精度,则会导致计算效率非常差。。。
使用龙格-库塔法提高精度:
ps:明天再填。。。
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原文地址:https://www.cnblogs.com/darkchii/p/9175716.html