标签：int for gif url idt onclick 欧拉 click http
欧拉函数：
φ(p)表示小于p的正整数中与p互质的数的个数，称作欧拉函数。
求单个数的欧拉函数时可以利用
来求
其中pi为p分解出的质因数，ki表示该质因数的指数
代码：
#include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; int phi[100]; int Eurl(int x) { int ans=1; for(int i=2;i*i<=x;++i) { if(x%i==0) { x/=i; ans*=i-1; } while(x%i==0) { x/=i; ans*=i; } } if(x!=1) ans*=(x-1); return ans; } int main() { int n=1; while(1) { scanf("%d",&n); if(!n) break; printf("%d\n",Eurl(n)); } return 0; }
还可以求范围内的欧拉函数
代码：
#include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; int phi[100]; int main() { int l,r; scanf("%d%d",&l,&r); for(int i=1;i<=r;++i) phi[i]=i; for(int i=2;i<=r+1;++i) { if(phi[i]==i) { for(int j=i;j<=r;j+=i) { phi[j]=phi[j]/i*(i-1); } } } for(int i=l;i<=r;++i) { printf("%d %d\n",i,phi[i]); } return 0; }
逆元：
a*a-1≡1(mod p)
a-1叫做a在mod p 意义下的逆元。
利用欧拉定理可知
aφ(p)≡1(mod p)
a*aφ(p)-1≡1(mod p)
所以a在mop p意义下的逆元就是aφ(p)-1
求单个逆元可以直接这样求
一种O(n)求范围内逆元的办法：
inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p
证明：
设t=p/i k=p%i
易知p≡0(mod p)
所以t*i+k≡0(mod p)
t*i≡-k(mod p)
-t*i≡k(mod p)
两边都乘以inv[i]和inv[k]
-t*i*inv[i]*inv[k]≡k*inv[k]*inv[i](mod p)
-t*inv[k]≡inv[i](mod p)
所以就得到了
inv[i]≡(-p/i)*(p%i) (mod p)
所以inv[i]=(p-p/i)*(p%i)%p
用p-p/i是为了避免出现负数
代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 using namespace std; 4 int inv[110]; 5 int main() 6 { 7 int n,p; 8 scanf("%d%d",&n,&p); 9 inv[1]=1; 10 for(int i=2;i<=n;++i) 11 inv[i]=inv[p%i]*(p-p/i)%p; 12 for(int i=1;i<=n;++i) 13 printf("%d ",inv[i]); 14 return 0; 15 }
一种求从1到n间阶乘的逆元的方法
依据逆元的性质易知
n!*n!-1≡(n-1)!*(n-1)!-1≡1(mod p)
即 n*(n-1)!*n!-1≡(n-1)!*(n-1)!-1≡1(mod p)
然后两边同时乘以(n-1)!-1得到
n*n!-1≡(n-1)!-1(mod p)
这样就可以倒着递推出范围内阶乘的逆元了
代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 using namespace std; 4 int jsinv[110]; 5 int fai(int k) 6 { 7 int ans=1; 8 for(int i=2;i*i<=k;++i) 9 { 10 if(k%i==0) 11 { 12 ans*=i-1; 13 k/=i; 14 } 15 while(k%i==0) 16 { 17 ans*=i; 18 k/=i; 19 } 20 } 21 ans*=k; 22 return ans; 23 } 24 int mi(int a,int k,int p) 25 { 26 int ans=1; 27 for(int now=a;k;k>>=1,now=now*now%p) 28 if(k&1) ans=ans*now%p; 29 return ans; 30 } 31 int main() 32 { 33 int n,p; 34 scanf("%d%d",&n,&p); 35 int k=1; 36 for(int i=2;i<=n;++i) 37 k=k*i%p; 38 jsinv[n]=mi(k,fai(p),p); 39 for(int i=n-1;i>=1;--i) 40 jsinv[i]=(jsinv[i+1]*(i+1))%p; 41 for(int i=1;i<=n;++i) 42 printf("%d ",jsinv[i]); 43 return 0; 44 }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/wxyww/p/9188788.html
