标签：sum lld 定义 new 常用 highlight using [1] 前缀
一、 $\mu$的基本定义
$\mu(x)=$$\begin{cases}1\ \ \ \ \ (x=1)\\0\ \ \ \ \ (x有平方因子)\\-1\ \ (x有奇数个质因子)\\1\ \ (x有偶数数个质因子) \end{cases}$
二、相关性质
1、莫比乌斯反演常用：
$$\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$$
2、把欧拉函数和莫比乌斯函数结合起来：
$$\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}$$
三、莫比乌斯反演
1、倍数莫比乌斯反演：
若：$f(n)=\sum_{n|d}g(d)$
则：$g(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})f(d)$
2、约数莫比乌斯反演：
若：$f(n)=\sum_{d|n}g(d)$
则：$g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$
四、求$\mu$
1、线性筛
void get_miu()
{
miu[1]=1;
for(int i=2;i<maxn;i++)
{
if(!mark[i])
{
p[++p[0]]=i;
miu[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=p[0] && i*p[j]<maxn;j++)
{
mark[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0)
{
miu[i*p[j]]=0;
break;
}
else miu[i*p[j]]=-miu[i];
}
}
}
2、杜教筛求前缀和
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn=5e6+10;
ll a,b;
int miu[maxn],tot;
map<ll,ll> mp;
bool mark[maxn];
int p[maxn];
void init()
{
miu[1]=1;
for(int i=2;i<maxn;i++)
{
if(!mark[i])
{
p[++p[0]]=i;
miu[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=p[0] && i*p[j]<maxn;j++)
{
mark[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0)
{
miu[i*p[j]]=0;
break;
}
else miu[i*p[j]]=-miu[i];
}
}
for(int i=1;i<maxn;i++) miu[i]+=miu[i-1];
}
ll sum(ll x)
{
if(x<maxn) return miu[x];
if(mp.count(x)) return mp[x];
ll r=0,res=1;
for(long long i=2;i<=x;i=r+1)
{
r=x/(x/i);
res-=sum(x/i)*(r-i+1);
}
return mp[x]=res;
}
int main()
{
init();
scanf("%lld%lld",&a,&b);
printf("%lld\n",sum(b)-sum(a-1));
return 0;
}
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原文地址：https://www.cnblogs.com/linda-fcj/p/9188987.html
