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矩阵乘法优化dp
前几天学姐说要给我们考矩乘dp和期望dp...其实我们都（也可能只有我）不会。
那只能现学了，然而学了一天突然通知不考了qwq
矩阵乘法
A矩阵为m*k，B矩阵为k*n，两矩阵相乘则得C矩阵为m*n;
for (int i=1;i<=M;++i) for (int j=1;j<=N;++j) for (int k=1;k<=K;++k) c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
时间复杂度为$O(N^3)$，数学一本通上提到了一种奇妙的矩阵乘法$Strassen：O(N^{2.81})$，但是非常非常复杂非常非常难写，于是就不写了（而且我也不会）；
矩阵快速幂
其实和数字快速幂的思想是一样的。有一个小技巧:如果一个矩阵的主对角线全为1，其他部分为0，对于另一个矩阵来说就相当于单位元，相乘不变；
矩阵快速幂：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3390
# include <cstdio> # include <iostream> using namespace std; const int P=1e9+7; struct s { long long a[101][101]; }A,ans; long long k; int n; s mul(s a,s b) { s c; for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++) c.a[i][j]=0; for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++) for (int k=1;k<=n;k++) c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%P)%P; return c; } void qui (long long k) { while (k) { if(k&1) ans=mul(ans,A); A=mul(A,A); k=k>>1; } return ; } int main() { scanf("%d%lld",&n,&k); for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++) scanf("%lld",&A.a[i][j]); for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++) if(i==j) ans.a[i][j]=1; qui(k); for (int i=1;i<=n;i++) { for (int j=1;j<=n;j++) printf("%lld ",ans.a[i][j]); printf("\n"); } return 0; }
矩乘优化数列递推
矩阵乘法可以用来加速线性的递推式(也许也可以加速别的递推吧)，思路非常棒;
首先构造一列数列，保存与递推$f[n]$有关的项，以斐波那契数列为例：
$f[n]=f[n-1]+f[n-2]$ 所以构造的矩阵为
$\begin{bmatrix}
f[n-1] \\
f[n-2]
\end{bmatrix}$
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