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2018年全国卷Ⅱ卷文科数学解析[陕]

时间:2018-06-17 12:37:04      阅读:296      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:题型   选中   lin   col   概率   表达   运算   big   观察   

从一个数学老师的角度来解析2018高考,结合学生的实际学情,给出学习建议。

一、选择题

№01【题文】 $i(2+3i)=$【$\hspace{2em}$】
A.$3-2i\hspace{4em}$ B. $3+2i\hspace{4em}$ C. $-3-2i\hspace{4em}$ D.$-3+2i\hspace{4em}$
【解析】$i(2+3i)=-3+2i$,故选D,送分题。
【说明】文科考查复数的乘法运算,理科考查复数的除法运算。
№02【题文】 已知集合$A=\{1,3,5,7\}$,$B=\{2,3,4,5\}$,则$A\cap B=$【$\hspace{2em}$】
A.$\{3\}\hspace{4em}$ B. $\{5\}\hspace{4em}$ C. $\{3,5\}\hspace{4em}$ D.$\{1,2,3,4,5,7\}\hspace{4em}$
【解析】$A\cap B=\{3,5\}$,故选C,送分题。
№03【题文】 函数$f(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{x^2}$图像大致是【$\hspace{2em}$】。
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【分析】本题目考查函数图像的辨析,需要利用函数的性质求解,函数的性质常包含定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、特殊值、驻点等等,具体要用到哪些性质往往因题目而异。
解法1由题目先分析函数的奇偶性,设$g(x)=e^x-e^{-x}$,则$g(-x)=e^{-x}-e^x=-g(x)$,即函数$g(x)$为奇函数,又函数$y=x^2$为偶函数,故函数$f(x)$为奇函数,排除选项A;
再由特殊值法,令$x=3$,则估算$f(3)=\cfrac{e^3-e^{-3}}{3^2}\approx\cfrac{2.7^3}{3^2}\approx 2$,排除C、D;
故选B。
解法2还可以利用奇偶性和单调性来解析本题目,奇偶性如上所述;
单调性,$f‘(x)=\cfrac{(e^x+e^{-x})x^2-(e^x-e^{-x})\cdot 2x}{(x^2)^2}=\cfrac{(x-2)e^x+(x+2)e^{-x}}{x^3}$,接下来常规方法是判断其在$x>0$时的准确的单调区间,这时候不但麻烦,而且已经将题目变成了做函数图像的方法了,不是辨析函数图像的方法,
此时我们观察可以看到当$x>2$时,$f‘(x)>0$,故函数$f(x)$在$(2,+\infty)$上单调递增,故排除C和D,从而选B。
反思1、弄清楚题目的类型和相应的解法思路是非常必要的。
2、函数的奇偶性的判断中,有一个常用的方法就是利用性质,比如$奇+奇=奇,奇\times奇=偶,奇\times偶=奇,奇/偶=奇$,这些常见的结论一般的高三复习资料上都会有的。
建议常见函数的奇偶性需要记忆比如,
$f(x)=|x|$,$f(x)=e^x+e^{-x}$,$f(x)=Acos\omega x$都是偶函数;
$y=x^3$,$y=e^x-e^{-x}$,$y=Asin\omega x$都是奇函数。
№04【题文】 已知向量$\vec{a},\vec{b}$满足$|\vec{a}|=1$,$\vec{a}\cdot \vec{b}=1$,则$\vec{a}\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=$【$\hspace{2em}$】
A.$4\hspace{4em}$ B. $3\hspace{4em}$ C. $2\hspace{4em}$ D.$0\hspace{4em}$
【解析】$\vec{a}\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=2\vec{a}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times1+1=3$,故选B,送分题。
№05【题文】 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率是【$\hspace{2em}$】
A.$0.6\hspace{4em}$ B. $0.5\hspace{4em}$ C. $0.4\hspace{4em}$ D.$0.3\hspace{4em}$
【解析】【文科】两个男生记为$A,B$,三个女生记为$a,b,c$,则从5个同学中任选2个同学参加服务,
可以列举得出共有10种结果$(A,B)$,$(A,a)$,$(A,b)$,$(A,c)$,$(B,a)$,$(B,b)$,$(B,c)$,$(a,b)$,$(a,c)$,$(b,c)$,
其中2人都是女同学的共有3种$(a,b)$,$(a,c)$,$(b,c)$,,故$P=\cfrac{3}{10}=0.3$,故选D,送分题。
【理科】$P=\cfrac{C_3^2}{C_5^2}=\cfrac{3}{10}=0.3$。
【建议】对文科学生而言,从5(6个或7个)个学生中任选2个(3个)的列举方法和结果,需要非常熟练快速准确才行。
№06【题文】 双曲线$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为$\sqrt{3}$,则其渐近线方程为【$\hspace{2em}$】
A.$y=\pm\sqrt{2}x \hspace{4em}$ B. $y=\pm\sqrt{3}x \hspace{4em}$ C. $y=\pm\cfrac{\sqrt{2}}{2}x \hspace{4em}$ D.$y=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}x \hspace{4em}$
【解析】由已知$e=\cfrac{c}{a}=\sqrt{3}$,则有$c=\sqrt{3}k(k>0)$,$a=k$,从而$b=\sqrt{2}k$,
由$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1$,得到其渐近线方程为$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=0$,即$y=\pm\cfrac{b}{a}x=\pm\cfrac{\sqrt{2}k}{k}x=\pm\sqrt{2}x$,故选A。
【建议】巧妙记忆:双曲线$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1$的渐近线方程为$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=0$;
№07【题文】 在$\Delta ABC$中,$cos\cfrac{C}{2}=\cfrac{\sqrt{5}}{5}$,$BC=1$,$AC=5$,则$AB=$【$\hspace{2em}$】
A.$4\sqrt{2} \hspace{4em}$ B. $\sqrt{30} \hspace{4em}$ C. $\sqrt{29} \hspace{4em}$ D.$2\sqrt{5}\hspace{4em}$
【解析】由降幂升角公式得到,$cosC=2cos^2\cfrac{C}{2}-1=-\cfrac{3}{5}$,
再由余弦定理可得,$AB^2=AC^2+BC^2-2AC\cdot BC\cdot cosC$
$=25+1-2\times 5\times 1\times(-\cfrac{3}{5})=32$,故$AB=4\sqrt{2}$,选A。
№08【题文】 为计算$S=1-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{4}+\cdots+\cfrac{1}{99}-\cfrac{1}{100}$,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入【$\hspace{2em}$】
技术分享图片A.$i=i+1\hspace{4em}$ B. $i=i+2\hspace{4em}$ C. $i=i+3\hspace{4em}$ D.$i=i+4\hspace{4em}$
【解法1】先按照循环次序执行看看,
$Step1,1<100,是,N=0+\cfrac{1}{1},T=0+\cfrac{1}{2}$,
若$i=i+1$,
则$Step2,2<100,是,N=\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{2},T=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}$,若最后退出循环,则$S=N-T$中就没有$-\cfrac{1}{2}$,故$i=i+1$错误;
若$i=i+2$,
则$Step2,3<100,是,N=\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{3},T=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}$,
则$Step3,5<100,是,N=\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5},T=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{6}$,若最后退出循环,则$S=N-T$刚好满足题意,故$i=i+2$正确;
同理,若$i=i+3$,若$i=i+4$,最后都会推出错误,故选B;
【解法2】(此方法思维要求高些)注意到$S$中的表达式特点是一正一负相间出现,分母是连续的自然数,故$N$计算的是分母是正奇数的分数,间隔为2,$T$计算的是分母是正偶数的分数,间隔为2,最后由$S=N-T$完成组合,满足题意,故选$i=i+2$,选B;
№09【题文】 在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,$E$为棱$CC_1$的中点,则异面直线$AE$与$CD$所成角的正切值为【$\hspace{2em}$】
A.$\cfrac{\sqrt{2}}{2}\hspace{4em}$ B. $\cfrac{\sqrt{3}}{2}\hspace{4em}$ C. $\cfrac{\sqrt{5}}{2}\hspace{4em}$ D.$\cfrac{\sqrt{7}}{2}\hspace{4em}$
技术分享图片【解法1】连结$BE$,由于$CD//AB$,故$\angle BAE$即为两异面直线所成的角,
令正方体的棱长为2,由$CE=1,BC=2$,可知$BE=\sqrt{5}$,又对角线$AC=2\sqrt{2}$,$CE=1$,则$AE=3$
在$Rt\Delta ABE$中,$AB=2,BE=\sqrt{5}$,则$tan\angle BAE=\cfrac{\sqrt{5}}{2}$,故选C。
【建议】1、异面直线所成的角,需要先平移其中一条,变为共面直线所成的角,如果要求其大小,可以放置在某个三角形中,通过解三角形完成;
2、棱长设为2的运算量和运算难度比棱长设为1要小一些。
【解法2】空间向量法。感觉比法1要慢一些。
№10【题文】 若$f(x)=cosx-sinx$在$[0,a]$上是减函数,则$a$的最大值是【$\hspace{2em}$】
A.$\cfrac{\pi}{4}\hspace{4em}$ B. $\cfrac{\pi}{2}\hspace{4em}$ C. $\cfrac{3\pi}{4}\hspace{4em}$ D.$\pi\hspace{4em}$
【解法1】由题目可知,$f‘(x)=-sinx-cosx\leq 0$在$[0,a]$上恒成立,即$sinx+cosx\ge 0$在$[0,a]$上恒成立,
即$sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\cfrac{\pi}{4})\ge 0$在$[0,a]$上恒成立,将4个选项代入验证,满足题意的是选项C,故选C。
【解法2】图像法,做出函数图像,观察发现,$a$的最大值是$\cfrac{3\pi}{4}$,故选C。
№11【题文】 已知$F_1,F_2$是椭圆$C$的两个焦点,$P$是$C$上一点,若$PF_1\perp PF_2$,且$\angle PF_2F_1=60^{\circ}$,则$C$的离心率是【$\hspace{2em}$】
A.$1-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\hspace{4em}$ B. $2-\sqrt{3}\hspace{4em}$ C. $\cfrac{\sqrt{3}-1}{2}\hspace{4em}$ D.$\sqrt{3}-1\hspace{4em}$
【解析】自行做出示意图,有图可知,在$Rt\Delta PF_1F_2$中,$\angle F_1PF_2=90^{\circ}$,$\angle PF_2F_1=60^{\circ}$,$F_1F_2=2c$,故$PF_2=c$,$PF_1=\sqrt{3}c$,
由椭圆的定义可知,$|PF_1|+|PF_2|=2a$,即$c+\sqrt{3}c=2a$,解得$e=\cfrac{c}{a}=\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$,故选D。
【建议】用圆锥曲线的定义解题,是高考中的一个高频考查方式。
№12【题文】已知函数$f(x)$是定义在$(-\infty,+\infty)$上的奇函数,满足$f(1-x)=f(1+x)$,若$f(1)=2$,则$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=$【$\hspace{2em}$】。
A.$-50\hspace{4em}$ B.$0\hspace{4em}$ C.$2\hspace{4em}$ D.$50$
【解析】先将奇函数性质改写为,$f(x)=-f(-x)①$;再将对称性$f(1-x)=f(1+x)$改写为$f(2-x)=f(x)②$,
由①②式可知,$f(2-x)=-f(-x)$,即$f(2+x)=-f(x)$,故$T=2\times 2=4$,
这样$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)$,接下来就是重点求这些函数值;
由于函数是定义在$R$上的奇函数,故$f(0)=0$,则$f(4)=f(4-4)=f(0)=0$,
令$x=0$,则由$f(2-x)=-f(-x)$可得到$f(2-0)=-f(-0)=f(0)=0$,即$f(2)=0$,
$f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2$,故$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0$,
即所求$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=f(1)+f(2)=2$,故选C
【建议】熟练掌握以下的变形和数学思想方法:
比如对称性+奇偶性$\Longrightarrow$周期性的变形例子
如,已知函数$f(x)$是奇函数,且满足$f(2-x)=f(x)$,
则由$\begin{align*} f(2-x)&=f(x) \\\ - f(-x)&= f(x)\end{align*}$ $\Bigg\}\Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow$周期$T=4$
奇偶性+周期性$\Longrightarrow$对称性的变形例子
如,已知函数$f(x)$是奇函数,且满足$f(x+4)=-f(x)$,
则由$\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}$ $\Bigg\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow$对称轴是$x=2$
对称性+周期性$\Longrightarrow$奇偶性的变形例子
如,已知函数$f(x)$的周期是2,且满足$f(2+x)=f(-x)$,
则由$\begin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)\end{align*}$ $\Bigg\}\Longrightarrow f(-x)= f(x)\Longrightarrow$函数$f(x)$是偶函数。

二、填空题

№13【题文】 曲线$y=2lnx$在点$(1,0)$处的切线方程是________________。
【解析】$f‘(x)=\cfrac{2}{x}$,则$k=f‘(1)=2$,又切点为$(1,0)$,故切线方程为$y-0=2(x-1)$,即$y=2x-2$,送分题。
【说明】在点处的切线和过点处的切线是有很大区别的。曲线的切线
№14【题文】 若$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+2y-5\ge 0\\x-2y+3\ge 0\\x-5\leq 0\end{cases}$,则$z=x+y$的最大值是___________。
【解析】线性规划题目中的最基础的考查题型,做出可行域,通过平移目标直线就可以作答。提示:$z_{max}=9$
还有的同学直接求出三角形可行域三个顶点坐标代入,验证得到答案,对于这类题目此方法也是可行的。但不建议用这个方法,毕竟不利于对数学本质的理解。
【建议】1、关于线性规划题目,这几年的高考题目几乎就考查到这个难度(直线的截距型),一般我们平时训练题目难度都比这个类型要难一些,比如斜率型,距离型等。
2、建议看看这篇博文,线性规划相关
№15【题文】 已知$tan(\alpha-\cfrac{5\pi}{4})=\cfrac{1}{5}$,则$tan\alpha$=______________。
【解析】本题目是三角函数求值中的给值求值类型,而且是比较简单的类型,只需要将已知条件化简,$tan(\alpha-\cfrac{5\pi}{4})=tan(\alpha-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{1}{5}$,
即$tan(\alpha-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{tan\alpha-tan\cfrac{\pi}{4}}{1+tan\alpha\cdot tan\cfrac{\pi}{4}}=\cfrac{tan\alpha-1}{1+tan\alpha}=\cfrac{1}{5}$,
解方程即可得到$tan\alpha=\cfrac{3}{2}$。
【建议】1、三角函数中的给值求值类型,三角函数的求值
2、$tan\alpha$的给出方式,$tan\alpha$的各种可能给出方式
№16【题文】已知圆锥的顶点为$S$,母线$SA,SB$互相垂直,$SA$与圆锥底面所成角为$30^{\circ}$,若$\Delta SAB$的面积为8,则该圆锥的体积为___________。
技术分享图片【解析】设圆锥的母线长为$x$,底面半径为$r$,则由等腰直角三角形$S_{\Delta SAB}=8=\cfrac{1}{2}x^2$,解得$x=4$,
又在$Rt\Delta SAO$中,$SA=4$,$\angle SAO=30^{\circ}$,则$OA=r=2\sqrt{3}$,$SO=2$
则$V=\cfrac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot SO=\cfrac{1}{3}\cdot \pi (2\sqrt{3})^2\cdot 2=8\pi$。

三、解答题

№21【题文】 题目暂略。

【解析】\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1)\)

\(a=3\)时,\(f'(x)=x^2-3(2x+1),\)\(f'(x)=0\),则\(x=3\pm 2\sqrt{3}\)

\(x<3-2\sqrt{3}\)\(x>3+2\sqrt{3}\)时,\(f'(x)>0\)\(f(x)\)单调递增;

\(3-2\sqrt{3}<x<3+2\sqrt{3}\)时,\(f'(x)<0\)\(f(x)\)单调递减;

故单调递增区间为\((-\infty,3-2\sqrt{3})\)\((3+2\sqrt{3},+\infty)\),单调递减区间为\((3-2\sqrt{3},3+2\sqrt{3})\)

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