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P4318 完全平方数

时间:2018-06-22 23:53:16      阅读:200      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:其他   class   get   long   测试数据   max   开心   sample   --   

题目描述

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。

这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。

然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗?

输入输出格式

输入格式:

 

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 TT ,表示测试数据的组数。 第 22 至第 T+1T+1 行每行有一个整数 K_iKi? ,描述一组数据,含义如题目中所描述。

 

输出格式:

 

含T 行,分别对每组数据作出回答。第 ii 行输出相应的第 K_iKi? 个不是完全平方数的正整数倍的数。

 

输入输出样例

输入样例#1: 
4 
1 
13 
100 
1234567
输出样例#1: 
1 
19 
163 
2030745

说明

对于 50%的数据有 1Ki?105 , 对于 100%的数据有 1Ki?109,T50

 

Solution:

  本题zyys。

  题意就是求第$k$个没有完全平方数因子的数,所谓数$x$的完全平方数因子就是$i^2|x,i\in Z^+,i\neq 1$。

  一眼可以想到,直接线性枚举,然后每次$\sqrt n$求约数判断,这样能水分,但是切不了本题。

  此时,因为答案显然单调递增,考虑二分答案,然后判断$[1,x]$中的满足条件的数个数是否等于$k$。

  对于$x$以内的无平方因子数=$0$个质数的平方的倍数的个数(即$1$的倍数)-$1$个质数的平方的倍数的个数(即$4,9,16…$的倍数)+$2$个质数的乘积的平方的倍数的个数(即$36,100,225…$的倍数)……

  不难发现,整个式子其实就是容斥原理的体现,我们可以线筛求出莫比乌斯函数,那么最后的答案就是$ans= \sum \limits_{i=1}^{i^2 \leq n}{ \mu (i) \times \lfloor{\frac{n}{i^2}}\rfloor}$。

  那么线筛只要$\sqrt{10^9}\leq 40000$,然后二分边界$l=k,r=k\times 2$就好了(显然$k$以内最多就是每个数都是无平方因子数,而$2\times k$内的质数大约$\ln {2\times k}个$,大约有\sum\limits_{i=1}^{\ln {2\times k}}{C(\ln {2\times k},i)}个,貌似是大于$k$的吧!)

  然后直接求就好了。

  我这里想骚操作一波,所以就对求的式子进行了数论分块,那么只需处理出$\mu$的前缀和就好了,然后对$\lfloor{\frac{n}{i^2}}\rfloor$进行数论分块求。

  事实证明,因为$i\leq 40000$,所以优化效果并不特别明显。(暴力和优化一样快)

  暴力时间复杂度$O(\log n\times \sqrt n)$,优化理论复杂度$O(\log n \times \sqrt{ \sqrt n})$

代码:

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define ll long long
 4 #define RE register
 5 #define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
 6 #define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
 7 #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
 8 #define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
 9 const ll N = 40005;
10 int mu[N+5],prime[N+5],cnt,T,k,m;
11 bool isprime[N+5],f;
12 
13 il ll gi(){
14     ll a=0;char x=getchar();
15     while(x<0||x>9)x=getchar();
16     while(x>=0&&x<=9)a=(a<<3)+(a<<1)+x-48,x=getchar();
17     return a;
18 }
19 
20 using namespace std;
21 
22 il bool check(ll x){
23     ll ans=0;
24     ll p,m=sqrt(x);
25     for(RE ll i=1;i<=m;i=p+1){
26         p=min((ll)(sqrt(x/(x/(i*i)))),m);
27         ans+=x/(i*i)*(mu[p]-mu[i-1]);
28     }
29     return ans>=k;
30 }
31 
32 il void solve(){
33     ll l=k,r=k<<1,mid;
34     while(l+1<r){
35         mid=l+r>>1;
36         if(check(mid))r=mid;
37         else l=mid;
38     }
39     if(check(l))printf("%lld\n",l);
40     else printf("%lld\n",r);
41 }
42 
43 int main(){
44     mu[1]=1;
45     For(i,2,N){
46         if(!isprime[i])prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
47         for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=N;j++){
48             isprime[prime[j]*i]=1;
49             if(i%prime[j]==0)break;
50             mu[prime[j]*i]=-mu[i];
51         }
52     }
53     For(i,1,N) mu[i]+=mu[i-1];
54     T=gi();
55     while(T--){
56         k=gi();
57         solve();
58     }
59     return 0;
60 }

 

P4318 完全平方数

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原文地址:https://www.cnblogs.com/five20/p/9215690.html

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