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小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗?
输入格式:
包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 TT ,表示测试数据的组数。 第 22 至第 T+1T+1 行每行有一个整数 K_iKi? ,描述一组数据,含义如题目中所描述。
输出格式:
含T 行,分别对每组数据作出回答。第 ii 行输出相应的第 K_iKi? 个不是完全平方数的正整数倍的数。
对于 50%的数据有 1≤Ki?≤105 , 对于 100%的数据有 1≤Ki?≤109,T≤50
Solution:
本题zyys。
题意就是求第$k$个没有完全平方数因子的数,所谓数$x$的完全平方数因子就是$i^2|x,i\in Z^+,i\neq 1$。
一眼可以想到,直接线性枚举,然后每次$\sqrt n$求约数判断,这样能水分,但是切不了本题。
此时,因为答案显然单调递增,考虑二分答案,然后判断$[1,x]$中的满足条件的数个数是否等于$k$。
对于$x$以内的无平方因子数=$0$个质数的平方的倍数的个数(即$1$的倍数)-$1$个质数的平方的倍数的个数(即$4,9,16…$的倍数)+$2$个质数的乘积的平方的倍数的个数(即$36,100,225…$的倍数)……
不难发现,整个式子其实就是容斥原理的体现,我们可以线筛求出莫比乌斯函数,那么最后的答案就是$ans= \sum \limits_{i=1}^{i^2 \leq n}{ \mu (i) \times \lfloor{\frac{n}{i^2}}\rfloor}$。
那么线筛只要$\sqrt{10^9}\leq 40000$,然后二分边界$l=k,r=k\times 2$就好了(显然$k$以内最多就是每个数都是无平方因子数,而$2\times k$内的质数大约$\ln {2\times k}个$,大约有\sum\limits_{i=1}^{\ln {2\times k}}{C(\ln {2\times k},i)}个,貌似是大于$k$的吧!)
然后直接求就好了。
我这里想骚操作一波,所以就对求的式子进行了数论分块,那么只需处理出$\mu$的前缀和就好了,然后对$\lfloor{\frac{n}{i^2}}\rfloor$进行数论分块求。
事实证明,因为$i\leq 40000$,所以优化效果并不特别明显。(暴力和优化一样快)
暴力时间复杂度$O(\log n\times \sqrt n)$,优化理论复杂度$O(\log n \times \sqrt{ \sqrt n})$
代码:
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define il inline 3 #define ll long long 4 #define RE register 5 #define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++) 6 #define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--) 7 #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) 8 #define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a)) 9 const ll N = 40005; 10 int mu[N+5],prime[N+5],cnt,T,k,m; 11 bool isprime[N+5],f; 12 13 il ll gi(){ 14 ll a=0;char x=getchar(); 15 while(x<‘0‘||x>‘9‘)x=getchar(); 16 while(x>=‘0‘&&x<=‘9‘)a=(a<<3)+(a<<1)+x-48,x=getchar(); 17 return a; 18 } 19 20 using namespace std; 21 22 il bool check(ll x){ 23 ll ans=0; 24 ll p,m=sqrt(x); 25 for(RE ll i=1;i<=m;i=p+1){ 26 p=min((ll)(sqrt(x/(x/(i*i)))),m); 27 ans+=x/(i*i)*(mu[p]-mu[i-1]); 28 } 29 return ans>=k; 30 } 31 32 il void solve(){ 33 ll l=k,r=k<<1,mid; 34 while(l+1<r){ 35 mid=l+r>>1; 36 if(check(mid))r=mid; 37 else l=mid; 38 } 39 if(check(l))printf("%lld\n",l); 40 else printf("%lld\n",r); 41 } 42 43 int main(){ 44 mu[1]=1; 45 For(i,2,N){ 46 if(!isprime[i])prime[++cnt]=i,mu[i]=-1; 47 for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=N;j++){ 48 isprime[prime[j]*i]=1; 49 if(i%prime[j]==0)break; 50 mu[prime[j]*i]=-mu[i]; 51 } 52 } 53 For(i,1,N) mu[i]+=mu[i-1]; 54 T=gi(); 55 while(T--){ 56 k=gi(); 57 solve(); 58 } 59 return 0; 60 }
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原文地址:https://www.cnblogs.com/five20/p/9215690.html