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分析
答案要求 $ans=2\sum\limits_{x=1}^n \sum\limits_{y=1}^mgcd(x,y)-n \times m$
主要求出中间的那一块就好了。
思路一：
容斥：f[i]表示gcd(x,y)=i的对数。(n/i)*(m/i)是gcd(x,y)=i的倍数 的对数。那么f[i] -= f[2*i] - f[3*i] ...就好了。
思路二：
莫比乌斯反演
$\ \ \ \ \sum\limits_{x=1}^n \sum\limits_{y=1}^mgcd(x,y)$
$=\sum\limits_p^{min(n,m)} p \sum\limits_{x=1}^n \sum\limits_{y=1}^m[gcd(x,y)=p]$
$=\sum\limits_p^{min(n,m)} p \sum\limits_d^{min(\frac{n}{p},\frac{m}{p})}μ(d)\frac{n}{pd}\times \frac{m}{pd}$
$\ \ \ \ \sum\limits_T^{min(n,m)} \frac{n}{T}\times \frac{m}{T} \sum\limits_{p|T}p \times μ(\frac{T}{p})$
$=\sum\limits_T^{min(n,m)} \frac{n}{T}\times \frac{m}{T} \ φ(T)$
容斥：
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 4 using namespace std; 5 6 typedef long long LL; 7 const int N = 100100; 8 LL f[N]; 9 10 int main() { 11 LL n,m,ans = 0; 12 cin >> n >> m; 13 int mi = min(n,m); 14 for (int i=mi; i>=1; --i) { 15 f[i] = (n / i) * (m / i); 16 for (int j=i+i; j<=mi; j+=i) { 17 f[i] -= f[j]; 18 } 19 ans += f[i] * i; 20 } 21 cout << 2 * ans - n * m; 22 return 0; 23 } 24
莫比乌斯+欧拉函数：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long LL; 4 5 inline int read() { 6 int x=0,f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch==‘-‘)f=-1; 7 for (;isdigit(ch);ch=getchar())x=x*10+ch-‘0‘;return x*f; 8 } 9 10 const int N = 100010; 11 int prime[N],phi[N],tot; 12 bool noprime[N]; 13 14 void getphi(int n) { 15 phi[1] = 1; 16 for (int i=2; i<=n; ++i) { 17 if (!noprime[i]) prime[++tot] = i,phi[i] = i-1; 18 for (int j=1; j<=tot&&prime[j]*i<=n; ++j) { 19 noprime[i * prime[j]] = true; 20 if (i % prime[j] == 0) { 21 phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; 22 break; 23 } 24 phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1); 25 } 26 } 27 for (int i=1; i<=n; ++i) phi[i] += phi[i-1]; 28 } 29 int main() { 30 31 LL n,m; 32 cin >> n >> m; 33 LL mi = min(n,m); 34 getphi((int)mi); 35 LL ans = 0,pos = 0; 36 for (int T=1; T<=mi; T=pos+1) { 37 pos = min(n/(n/T),m/(m/T)); 38 ans += (n/T) * (m/T) * (phi[pos] - phi[T-1]); 39 } 40 cout << ans * 2 - n * m; 41 return 0; 42 }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/mjtcn/p/9225476.html
