完美洗牌算饭

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被大腾讯问到了完美洗牌算法，瞬间就跪了，其实原来看过，只可惜都忘了啊，现在在补充进来吧。

其实完美洗牌算法，应该给我说明白题，最少举个例子吧，当时确实大意了，也没问清楚就直接不会了，其实题意是有个长度为2n的数组{a1,a2,a3,a4,..,an,b1,b2,b3,b4,...,bn},希望排序后{a1,b1,a2,b2,...,an,bn},最好要求时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1)。

解法一：蛮力交换方法

1.1 说白了就是b1和a2,a3,a4,...,an交换，然后是b2和a3,a4,a5,...，an交换，直到bn不交换。复杂度O(n2),肯定不行。

1.2中间交换

交换中间的元素方法，例如：

a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4交换a4,b1为：a1,a2,a3,b1,a4,b2,b3,b4

交换中间两个，交换a3,b1和a4,b2为a1,a2,b1,a3,b2,a4,b3,b4,

下一次交换中间三个，依次增加，最后即可但时间复杂度依然为O(n2)

解法二：完美洗牌算法O(n)

有人研究出了完美洗牌算法可以将a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4通过O(n)变成b1,a1,b2,a2,b3,a4,b4,a4，通过两两交换即可完成a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4.这里来说一下如何用O(n)完成。

2.1 位置置换算法，需要空间复杂度O(n),时间复杂度O(n)

原序：a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4

位置：1, 2  , 3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8

修改：b1,a1,b2,a2,b3,a3,b4,a4

可以看出1->2;2->4,3->6,4->8,5->1,6->3,7->5,8->7上即第i个元素放到了第(2*i)%(2*n+1)位置上

代码：

1 void pefect_shuffle1(int *a,int n){
2 int n2=n*2,i,b[N];
3 for(int i=1;i<=n2;i++)
4 {
5    b[(i*2)%(n2+1)]=a[i];
6 }
7 for(int i=1;i<=n2;i++)
8 a[i]=b[i];
9 }

我们注意到：1->2->4->8->7->5->1;和3->6->3这就是完美洗牌的关键后面继续说。

2.2 分治处理O(nlogn)

可以将大问题化成两个子问题处理，例如：

n=4情况

a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4，交换前半段的后n/2和后半段的前n/2为a1,a2,b1,b2,a3,a4,b3,b4就变成两个子问题。

n=5情况

a1,a2,a3,a4,a5,b1,b2,b3,b4,b5，将中间的给放到最后，剩下的前移即：a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,b5,a5，变成处理n=4情况

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 void perfect_shuffle2(int *a ,int n)
 4 {
 5     int t,i;
 6     if(n==1)
 7     {
 8         swap(a[1],a[2]);
 9         return;
10     }
11     int n2=n*2,n3=n/2;
12     if(n%2==1)
13     {
14         t=a[n];
15         for(i=n+1;i<=n2;i++)
16         {
17             a[i-1]=a[i];
18         }
19         a[n2]=t;
20         --n;
21     }
22     for(i=n3+1;i<=n;i++)
23     {
24         t=a[i];
25         a[i]=a[i+n3];
26         a[i+n3]=t;
27     }
28     perfect_shuffle2(a,n3);
29     perfect_shuffle2(a+n,n3);
30 }

时间复杂度O(nlogn),空间不算递归调用栈的话为O(1)

2.3 真正完美算法O(n),O(1)

利用走圈方法：

1->2->4->8->7->5->1;

3->6->3;

 1 void circle_leader(int *a ,int form ,int mod)  //mod=2*n+1
 2 {
 3     int last=a[from],t,i;
 4     for(i=from*2%mod;i!=from;i=i*2%mod)
 5     {
 6         t=a[i];
 7         a[i]=last;
 8         last=t;
 9     }
10     a[from]=last;
11 }

神级结论：若2*n=(3^k-1)，则可以确定圈的个数及各自头部的起始位置

对于2*n=(3^k-1)这种长度的数组，恰好只有k个圈，且每个圈头部的起始位置分别为：1,3,9，...，3^(k-1)。

完美洗牌算饭

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原文地址：http://www.cnblogs.com/zmlctt/p/4001088.html