标签：begin mit oid 条件 P20 typename long limit span
Hanks 博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现
在，刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数\(c_1\) 和\(c_2\) 的最大公约数和最小公倍数。现
在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公
倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数\(a_0\),\(a_1\),\(b_0\),\(b_1\)，设某未知正整
数x 满足：
1． \(x\) 和\(a_0\) 的最大公约数是\(a_1\)；
2． \(x\) 和\(b_0\) 的最小公倍数是\(b_1\)。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的
\(x\) 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的\(x\) 的个数。请你帮
助他编程求解这个问题。
第一行为一个正整数\(n\)，表示有\(n\) 组输入数据。接下来的n 行每
行一组输入数据，为四个正整数\(a_0\)，\(a_1\)，\(b_0\)，\(b_1\)，每两个整数之间用一个空格隔开。输入
数据保证\(a_0\) 能被\(a_1\) 整除，\(b1\) 能被\(b_0\) 整除。
每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 \(x\)，请输出0；
若存在这样的 \(x\)，请输出满足条件的\(x\)的个数；
2
41 1 96 288
95 1 37 1776 6
2【说明】
第一组输入数据，\(x\) 可以是9、18、36、72、144、288，共有6 个。
第二组输入数据，\(x\) 可以是48、1776，共有2 个。
【数据范围】
对于 50%的数据，保证有1≤\(a_0\)，\(a_1\)，\(b_0\)，\(b_1\)≤10000 且n≤100。
对于 100%的数据，保证有1≤\(a_0\)，\(a_1\)，\(b_0\)，\(b_1\)≤2,000,000,000 且n≤2000。
我们把题目的内容表示一下
\[
\left\{
\begin{align*}
gcd(a_0,x)&=a_1\lcm(b_0,x)&=b_1\\end{align*}
\right.
\]
显然，x一定是\(b_1\)的因数，一定是\(a_1\)的倍数。假设m表示\(a_0\)，\(a_1\)，\(b_0\)，\(b_1\)的大小，我们可以\(O(\sqrt m)\)枚举\(b_1\)的约数x，然后判断x满不满足上面的方程组即可。由于gcd和lcm的时间复杂度都是\(O(\log m)\)，有\(n\)次询问，所以总时间复杂度为\(O(n \sqrt m \log m)\)。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
template<typename A>inline void read(A&a){a=0;A f=1;int c=0;while(c<'0'||c>'9'){c=getchar();if(c=='-')f*=-1;}while(c>='0'&&c<='9'){a=a*10+c-'0';c=getchar();}a*=f;}
template<typename A,typename B>inline void read(A&a,B&b){read(a);read(b);}
template<typename A,typename B,typename C>inline void read(A&a,B&b,C&c){read(a);read(b);read(c);}
typedef long long ll;
int T;
int a0,a1,b0,b1,ans;
inline int gcd(int x,int y){return x%y==0?y:gcd(y,x%y);}
inline int lcm(int x,int y){return x/gcd(x,y)*y;}
inline bool check(int x){return gcd(x,a0)==a1&&lcm(x,b0)==b1;}
void Init(){
read(a0,a1);
read(b0,b1);
ans=0;
}
void Work(){
int t=sqrt(b1);
for(register int i=1;i<=t;++i){
if(!(b1%i)){
if(check(i))++ans;
if(b1/i!=i)if(check(b1/i))++ans;
}
}
printf("%d\n",ans);
}
int main(){
read(T);
while(T--){
Init();
Work();
}
return 0;
} //鉴于这个代码是我一年前写的，所以如果码风不大正常还请见谅。这个算法在当年Noip的时候可以拿90分，但是在洛谷神机和codevs里面就可以过了。
我们把上面的式子再放一遍。
\[
\left\{
\begin{align*}
gcd(a_0,x)&=a_1\lcm(b_0,x)&=b_1\\end{align*}
\right.
\]
因为\(x\)是\(b_1\)的约数，所以x的质因子一定是\(b_1\)拥有的。所以我们可以对于p的每一个质因子，计算x可以拥有多少个。
我们枚举\(b_1\)的质因数p,设\(a_0\)，\(a_1\)，\(b_0\)，\(b_1\)的分别有\(m_{a_0}\)，\(m_{a_1}\)，\(m_{b_0}\)，\(m_{b_1}\)个，x有\(m_x\)个。
对于\(gcd(a_0,x)=a_1\)这个式子，我们有三种情况：
\[
\left\{
\begin{align*}
m_{a_0} > m_{a_1} \quad &\Rightarrow \quad m_x = m_{a_1}\m_{a_0} = m_{a_1} \quad &\Rightarrow \quad m_x \geq m_{a_1}\m_{a_0} < m_{a_1} \quad &\Rightarrow \quad \text{无解}\\end{align*}
\right.
\]
对于\(lcm(b_0,x)=b_1\)这个式子，我们也有如下三种情况：
\[
\left\{
\begin{align*}
m_{b_0} > m_{b_1} \quad &\Rightarrow \quad \text{无解}\m_{b_0} = m_{b_1} \quad &\Rightarrow \quad m_x \leq m_{b_1}\m_{b_0} < m_{b_1} \quad &\Rightarrow \quad m _x = m_{b_1}\\end{align*}
\right.
\]
那么我们现在把上面集中情况整合一下：有如下几种情况：
\[
\left\{
\begin{align*}
m_{a_0} > m_{a_1} , m_{b_0} < m_{b_1} , m_{a_1} = m_{b_1} \qquad &\Rightarrow \qquad m_x\text{有$1$中取法}\m_{a_0} > m_{a_1} , m_{b_0} = m_{b_1} , m_{a_1} \leq m_{b_0} \qquad &\Rightarrow \qquad m_x\text{有$1$中取法}\m_{a_0} = m_{a_1} , m_{b_0} < m_{b_1} , m_{a_0} \leq m_{b_1} \qquad &\Rightarrow \qquad m_x\text{有$1$中取法}\m_{a_0} = m_{a_1} , m_{b_0} = m_{b_1} , m_{a_1} \leq m_{b_1} \qquad &\Rightarrow \qquad m_x\text{有$m_{b_1}-m_{a_1}+1$中取法}\\text{其他情况} \qquad &\Rightarrow \qquad \text{无解}\\end{align*}
\right.
\]
我们把\(cnt_p\)表示\(m_x\)的取值个数，（无解即为0）,那么我们只要求出
\[\pi \limits_{\text{质数}p|d}{s} cnt_p\]
标签：begin mit oid 条件 P20 typename long limit span
原文地址：https://www.cnblogs.com/hankeke/p/Noip2009Hankson.html
