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一些相关基本概念：群论、模运算、费马小定理、公约数、最大公约数、互质、逆元。
公约数：如果d是a的约数并且d也是b的约数，则d是a与b的公约数。
最大公约数：两个不同时为0的整数a与b的公约数中最大的数称为最大公约数，记作gcd(a, b)。
gcd函数的基本性质：
$$ \begin{align} gcd(a, b) &= gcd(b, a) \\ gcd(a, b) &= gcd(-a, b) \\ gcd(a, b) &= gcd(|a|, |b|) \\ gcd(a, 0) &= |a| \\ gcd(a, ka) &= |a| \quad 对任意k \in \mathbb{Z} \end{align} $$
推论：
$$ gcd(an, bn) = n \ gcd(a, b) $$
互质：当gcd(a, b) = 1时，称a与b互质。
一些常用的判断条件：两个质数一定为互质数；一个质数与另一个不为其倍数的数为互质数；相邻的两个自然数是互质数；相邻的两个奇数是互质数。。。详细可见互质-百度百科。
逆元：$$ 对每个a \in S，存在唯一的元素b \in S，称为a的逆元，满有a \bigoplus b = b \bigoplus a = e. $$
其中e为该群的单位元，乘法逆元的存在且唯一的条件是gcd(a, b) = 1。
现在来考虑一个模线性方程：
$$ ax \equiv b(mod \ n) $$
P.S.该方程可用在RSA公钥加密系统中。
几条很有用的定理及推论：
定理1
$$ 对任意正整数a和n，如果 d=gcd(a, n) ，则在 \mathbb{Z}_n 中，$$
$$ <a> = <d> = {0,d,2d, \cdot \cdot \cdot ,(\frac{n}{d} - 1)d} $$
因此，
$$ |<a>| = \frac{n}{d} $$
$$ 其中<a>表示由a生成的 \mathbb{Z}_n 的子群 $$
推论1 当且仅当d|b时，方程 ax Ξ b(mod n) 对于未知量x有解，这里d = gcd(a, n).
推论2 方程 ax Ξ b(mod n) 或对模 n 有 d 个不同的解，或者无解，这里 d = gcd(a, n).
定理2
$$ 令 d = gcd(a, n) ，假设对某些整数 x‘和y‘ ，有 ax‘ + ny‘ 。 $$
$$ 如果 d|b ，则方程 ax \equiv b (mod \ n) 有一个解的值为 x_0 ，这里 \\ x_0 = x‘ \ \frac{b}{d} mod \ n $$
定理3
$$ 假设方程 ax \equiv b(mod \ n) 有解（即 d|b， 这里 d = gcd(a, n)），且 x_0 是该方程的任意一个解。 $$
$$ 因此，该方程对模 n 恰有 d 个不同的解，分别为 x_i = x_0 + i \ \frac{n}{d} ，这里 i = 0,1, \cdot \cdot \cdot ,d - 1. $$
推论3 对于任意 n > 1，如果 gcd(a, n) = 1， 则方程 ax Ξ b(mod n) 对模 n 有唯一解。
如果 b = 1，则要求的 x 是 a 对模 n 的乘法逆元。
推论4 对于任意 n > 1，如果 gcd(a, n) = 1， 那么方程 ax Ξ 1(mod n) 对模 n 有唯一解；否则方程无解。
在 a 和 n 互质时，可以用记号 a-1 mod n 来表示 a 对模 n 的乘法逆元。此时 gcd(a, n) = 1 = ax + ny 意味着 ax Ξ 1(mod n).
证明我都略过不写了，因为证明还是看书最好；上面这两条推论我认为很重要。
费马小定理：
费马小定理实际上是欧拉函数的一个特殊情况，可以利用费马小定理求逆元：
$$ \begin{aligned} a^{p - 1} &\equiv 1 \ (mod \ n) \\ a*a^{p - 2} &\equiv 1 \ (mod n) \end{aligned} $$
$$ ax \equiv 1 \ (mod \ n) \Rightarrow x = a^{p - 2} mod \ n $$
现在来考虑如下同余方程组：
$$ \left\{\begin{aligned} x &= a_1 \ (mod \ m_1) \\ x &= a_2 \ (mod \ m_2) \\ & \cdot \cdot \cdot \\ x &= a_n \ (mod \ m_n) \end{aligned} \right. $$
前面做的题中提到过，该方程组有解的条件是 mi 两两互质，并且通解形式为：
$$ x = kM + \sum a_i t_i M_i , \quad k \in \mathbb{Z} $$
而在模 M 的意义下才有唯一解，解的形式为：
$$ x = \begin{pmatrix} \sum a_i t_i M_i \end{pmatrix} mod \ M $$
$$ 其中M = \prod m_i，M_i = \frac{M}{m_i}，t_i为M_i的逆元，a_i为余数 $$
最后，用之前做的例题来计算一下：
m = 3,5,7，将其写为方程组形式：
$$ \left\{\begin{aligned} x &= a_1 \ (mod \ 3) \\ x &= a_2 \ (mod \ 5) \\ x &= a_3 \ (mod \ 7) \end{aligned} \right. $$
于是 M = 105, M1 = 35, M2 = 21, M3 = 15。下面求逆元，这里可以用费马小定理来求解，也可以通过扩展欧几里得算法来求解，或者还可以肉眼计算。
费马小定理：
$$ \begin{aligned} 35 \ t_1 &\equiv 1(mod \ 3) \\ \\ 35 \cdot 35^1 &\equiv 1(mod \ 3) \Rightarrow \begin{aligned} t_1 &= 35^1 \ mod \ 3 \\ &= 3 \cdot 11 + 2 \\ &= 2 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} 21 \ t_2 &\equiv 1(mod \ 5) \\ \\ 21 \cdot 21^3 &\equiv 1(mod \ 5) \Rightarrow \begin{aligned} t_2 &= 21^3 \ mod \ 5 \\ &= 21^2 \cdot 21 mod 5 \\ &= 4 \cdot 5 + 1 mod \ 5 \\ &= 1 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} 15 \ t_3 &\equiv 1(mod \ 7) \\ \\ 15 \cdot 15^5 &\equiv 1(mod \ 7) \Rightarrow \begin{aligned} t_3 &= 15^5 \ mod \ 7 \\ &= 15^4 \cdot 15 mod 7 \\ &= 2 \cdot 7 + 1 mod \ 7 \\ &= 1 \end{aligned} \end{aligned} $$
肉眼观察法：由
$$ M_i t_i \equiv 1(mod m_i) $$
有
$$ \begin{aligned} 35 \ t_1 &\equiv 1(mod 3) \\ \\ 35 \cdot 2 &\equiv 1(mod 3) \Rightarrow t_1 = 2 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} 21 \ t_2 &\equiv 1(mod 5) \\ \\ 21 \cdot 1 &\equiv 1(mod 5) \Rightarrow t_2 = 1 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} 15 \ t_3 &\equiv 1(mod 7) \\ \\ 15 \cdot 1 &\equiv 1(mod 7) \Rightarrow t_3 = 1\end{aligned} $$
又
$$ x = \begin{pmatrix} \sum a_i t_i M_i \end{pmatrix} mod \ M $$
且 M = 105, M1 = 35, M2 = 21, M3 = 15。于是可得到公式 x = [a·(35×2) + b·21 + c·15]%105。
主要参考：
1.https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%92%E8%B4%A8/577412?fr=aladdin
2.https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86/4776158?fr=aladdin
3.https://baike.baidu.com/item/%E4%B9%98%E6%B3%95%E9%80%86%E5%85%83/5831857?fr=aladdin
4.https://baike.baidu.com/item/%E5%AD%99%E5%AD%90%E5%AE%9A%E7%90%86/2841597?fr=aladdin
5.https://baike.baidu.com/item/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0
6.算法导论
其他参考：
7.https://www.cnblogs.com/dupengcheng/p/5487362.html
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原文地址：https://www.cnblogs.com/darkchii/p/9235068.html
