SDOI2016 征途 题解

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由于暂时不太想写四边形不等式的题解，于是就暂时写篇斜率优化的题解（反正迟早都得写）

大概意思说给你\(n\)段连续区间，你可以将这些区间分割成\(m\)块（不能将原有区间分成两块，只能在交界处分割），使得\(m\)块区间的长度的方差和最小。题目要求，若设方差为\(v\)，那么最后请输出\(v*m^2\)。由此可见我们最小化的就是\(v*m^2\)，那么我们可以对这个式子做点手脚，设m段区间的长度分别为\(s[1]、s[2]、s[3]...s[m]\)，长度之和为\(Sn\)，则有：

\(v*m^2\)
\(=m^2*\frac{1}{m}*\sum_{i=1}^{m}(s[i]-\frac{Sn}{m})^2\)
\(=m*\sum_{i=1}^{m}(s[i]-\frac{Sn}{m})^2\)
\(=m*\sum_{i=1}^{m}(s[i]^2-\frac{2*s[i]*Sn}{m}+(\frac{Sn}{m})^2)\)

接着我们把三项都提出来，那么原式可化为：

\((m*\sum_{i=1}^{m}s[i]^2)-(m*\sum_{i=1}^{m}\frac{2*s[i]*Sn}{m})+(m*\sum_{i=1}^{m}\frac{Sn^2}{m^2})\)
\(=(m*\sum_{i=1}^{m}s[i]^2)-m*\frac{2*Sn^2}{m}+m*\frac{Sn^2}{m}\)
\(=(m*\sum_{i=1}^{m}s[i]^2)-Sn^2\)

所以将结果最小化就是将\(\sum_{i=1}^{m}s[i]^2\)最小化，那么现在让我们来动态规划，设\(dp[i][j]\)为前\(i\)段区间被分割成\(j\)块的最小代价，那么套路的\(dp\)方程如下：

\(dp[i][j]=min\left\{dp[i-1][k]+(w[j]-w[k])^2\right\}，1\le{i}\le{n}，1\le{j}\le{m}，0\le{k}<j\)

SDOI2016 征途 题解

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原文地址：https://www.cnblogs.com/ForwardFuture/p/9252159.html