机器学习（一）—— 线性回归

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机器学习（一）—— 线性回归

目录

0. 回归（Regression）的由来

1. 回归关系

2. 线性回归的整体思路

（1）根据数据提出假设模型

（2）求解参数

      1）梯度下降法

      2）正规方程求解参数

（3）梯度下降法与正规方程比较

3. 回归的一般方法

4. 实例分析

5. 线性回归的特点及其优缺点

6. 代码实现（Java）

（本文是基于吴恩达老师的机器学习课程整理的）

0. 回归（Regression）的由来

*********************************“回归”一词的来源************************************

　　今天所知道的回归是由达尔文（Charles Darwin）的表兄弟Francis Galton发明的。Galton于1877年完成了第一次回归预测，目的是根据上一代豌豆种子（双亲）的尺寸来预测下一代豌豆种子（孩子）的尺寸。Galton在大量对象上应用了回归分析，甚至包括人的身高。他注意到，如果双亲的高度比平均高度高，他们的子女也倾向于比平均高度高，但尚不及双亲。孩子的高度向着平均高度回退（回归）。Galton在多项研究上都注意到这个现象，所以尽管这个英文单词跟数值预测没有任何关系，但这种研究方法仍被称为回归。

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　　Regression有“衰退，退步”的意思，Galton在研究父母身高和子女身高时发现，即使父母的身高相对于人群平均身高来说很高，子女的身高比平均值高，但是却比父母低，即有种向平均值（正常身高）靠近（“衰退”）的倾向。

　　具体地，Galton和他的学生Pearson在研究父母身高（单位：英寸）与其子女身高的遗传问题时，观察了1078对夫妇，以每对夫妇的平均身高作为x，而取他们的一个成年儿子的身高作为y，将结果在平面直角坐标系上绘成散点图，发现趋势近乎一条直线，计算出的回归直线方程为y=33.73+0.516x。这种趋势及回归方程总的表明父母平均身高x每增加一个单位，其成年儿子的身高y也平均增加0.516个单位。这个结果表明，虽然高个子父辈确有生高个子儿子的趋势，但父辈身高增加一个单位，儿子的身高仅增加半个单位左右。反之，矮个子父辈确有生矮个子儿子的趋势，但父辈身高减少一个单位，儿子身高仅减少半个单位左右。即子代的平均高度向中心回归了。

 1.回归关系

　　在客观世界中普遍存在着变量之间的关系，变量之间的关系一般来说可以分为两种：

　　①确定性的：变量之间的关系可以用函数关系来表达；

　　②非确定性的：即统计关系或相关关系。如，人的身高与体重的关系，一般来说人高一些，体重也要重一些，但是也存在同样高度的人，体重有高有低，即没有明确的函数关系。现代统计学中关于统计关系已形成两个重要的分支，它们叫相关分析和回归分析。

　　回归分析就是研究统计关系的一种数学工具，能帮助我们从一个变量（预测变量或回归变量，可以理解为自变量）取得的值去估计另一个变量（响应变量，可以理解为因变量）所取的值。且自变量与因变量均为连续变量。当自变量只有一个变量时，我们称该回归为一元回归，当自变量有多个变量时，称为多元回归。若使用线性函数刻画自变量和因变量之间的相关关系，则称为线性回归，否则称为非线性回归。所以模型，称为一元线性回归模型（或简单线性回归模型），模型，称为多元线性回归模型，其中，参数θ₀称为回归常数，θ₁, θ₂, … ,θ_k称为回归系数。注意，其中“线性”是用来表明模型的参数θ₀, θ₁, θ₂, …, θ_k是线性的，而非y是关于x的线性函数。许多模型中y与x以非线性形式相关，但只要方程关于θ是线性的（也就是说不管x是几次方，只要所有参数θ均为一次方）就仍然可以将其当做线性回归方程处理，因为当回归变量为非线性时，可以通过变量替换将它转化为线性的。

　　需要注意的是：回归模型并非意味着变量间存在因果关系。即使两个或更多变量间可能存在牢固的实证关系，也不能认为这就证明了回归变量与响应变量间存在因果联系。确立因果关系，要求回归变量与响应变量必须存在一种基础性的、与样本数据无关的关系，比如理论分析中所暗含的关系。回归分析有助于因果关系的确认，但不能成为判断因果关系是否存在的唯一基础。

　　一定要记住，回归分析只是众多用于解决问题的数据分析方法的一种，也就是说，回归方程本身可能并非研究的主要目的，就整个数据处理过程而言，洞察力与理解力通常更为重要。

 2. 线性回归的整体思路

（1）根据数据提出假设模型

　　上面已经知道，回归的目的是通过几个已知数据来预测另一个数值型数据的目标值。下面通过例子阐述线性回归的思想及过程。

　　假设我们有如下表1所示的训练集，其中自变量x为房子的面积（单位feet²），因变量为房子的卖价（单位$1000），共有M个样本。

　　表 1  训练集样本（M个样本）

　　通过观察，我们发现，随着x增大，相应的y也增大，所以我们设想x和y应该满足线性关系，即假设模型可以描述x和y之间的线性关系，其中θ₀，θ₁为模型的参数。接下来只需要求解出参数θ₀，θ₁，就可以为新样本x`预测相应的房价h<sub>θ</sub>(x`)，即y`。

（2）求解参数

　　使用回归分析的一个重要目标是估计模型中的未知参数，这一过程也称为模型拟合数据。

　　1）梯度下降法

求解参数的原则

　　模型有了，就差参数了，那该如何求解呢？我们先看看求解参数θ₀，θ₁，的原则是什么。因为模型描述的是x和y之间的关系，即越能准确的刻画x与y的关系，那么模型越好，那怎么来判断是否准确呢？若对于每一个x，模型预测出的h_θ(x)=y，那么无疑该模型非常好，因为它能准确的反应我们训练集中所有样本的情况，若是对于未知的x，也能准确的预测出相应的y，那么该模型堪称完美。可惜这种情况是不存在的，因为在我们收集数据时，会由于各种各样的原因，造成数据误差（如测量误差）或者包含噪声等后果，所以模型达不到h_θ(x)=y这种理想情况，通常h_θ(x)-y≠0，我们当然希望这个差值越小越好，那就要调整h_θ(x)，所以就需要调整θ₀，θ₁，到这就明白了，调整参数θ₀，θ₁的目的（原则）是使模型预测值更接近真实值y，即使差值更小。

代价函数（cost function）

　　接下来我们需要衡量模型预测值与真实值之间的差异，通过直接求差值h_θ(x)-y来计算一个样本的差是可以的，但是要衡量整个训练集的差异就会存在正负相抵消的问题，那么用绝对值呢？绝对值没有正负抵消问题，但是在后面的计算中求导是分段函数，相对比较麻烦，所以也不用。考虑差值的次方，因为奇数次方都会存在正负抵消问题，所以来看偶数次方，偶数次方没有之前的那些问题，但是考虑到计算的简便性，我们用平方来计算二者之间的差异，即，也称该函数为平方损失函数。同时，平方损失函数还有个好处是可以惩罚那些差值较大的项，比如(10-5)²=25，(10-8)²=4，25:4相较于5:2更能突出差异大的点。

　　接下来，我们用平方损失函数对每一个样本计算差异（损失），再求和取平均作为整体训练集对参数θ₀，θ₁的损失J(θ₀, θ₁)，公式为：，其中公式中的1/2是为了后续求导计算中约掉指数上的2，x⁽ⁱ⁾，y⁽ⁱ⁾表示第i个样本。我们称J(θ₀, θ₁)为代价函数（cost function），其反映了训练集所有样本在参数θ₀，θ₁下的平均损失。因为我们需要模型能较为准确的表示变量之间的关系，也即模型预测值与真实值之间的差异要尽可能的小，所以我们需要J(θ₀, θ₁)尽可能的小，也就是说，现在将从假设模型中直接求参数θ₀，θ₁转化为在代价函数J(θ₀, θ₁)中求解参数θ₀，θ₁，使代价函数J(θ₀, θ₁)最小。

代价函数J(θ₀, θ₁)和模型h_θ(x)之间的关系

 　　首先模型h_θ(x)是给定参数θ下，关于x的函数，而J(θ₀, θ₁)是关于θ₀，θ₁的函数。给定参数θ₀，θ₁，可以计算出一个J(θ₀, θ₁)。为了方便表示和理解，我们假设参数θ₀=0，即模型是过原点的直线，设样本点为(1, 1), (2, 2), (3, 3)，接下来，我们取不同的θ₁来计算J(θ₁)。

　　如下图1所示，黑色线表示θ₁=1，三个样本点刚好全都落在该直线上，其代价函数值为0，所以J(θ₁)过点(1, 0)，蓝色直线斜率为0.5，其代价函数值为0.58，所以J(θ₁)过点(0.5, 0.58)，同样绿色直线斜率为2，其代价值为7/3，所以J(θ₁)过点(2, 7/3)，得到的代价函数如图2所示。若不设θ₀=0，则J(θ₀, θ₁)的等高线如图3所示。

图 1 不同参数下的模型

图 2 代价函数J(θ₁)

图 3 J(θ₀, θ₁)的等高线，横轴为θ₁，纵轴为θ₀

利用代价函数求解参数

　　我们的目的是求得参数θ₀，θ₁，使代价函数J(θ₀, θ₁)值最小。即，因为线性回归的代价函数J(θ)总是凹面，即凸函数，最小化J(θ)属于凸优化，我们用最经典的梯度下降算法。

梯度下降法的思路：

• 给参数θ₀，θ₁初始值，常设为（0, 0）
• 调整θ₀，θ₁使J(θ₀, θ₁)减小
• 直到代价函数J(θ₀, θ₁)减小到最小值

　　为什么要设置初始值为0呢？因为后续都会调整参数来求代价函数的最小值，而且先前我们也不知道要具体设置为多少，所以遵循简单原则，设置为0。接下来调整参数，如下：

　　重复以下步骤直到收敛{

　　}

　　α为下降步长，也叫学习率（learning rate），它决定了在梯度下降迭代的过程中，每一步沿梯度负方向前进的长度。偏导数项是用来保证以直线方向下降（最快下降方向）。

　　我们来看看α产生的影响，同样的，设θ₀=0，在之前图2中会产生以下收敛方式，因为J(θ)图形变化比较缓慢，所以会随着导数项减小而减小，如图4所示，经多次减小后，越到最小值附近，J(θ)变化越缓慢。但是对于图5来说，J(θ)比较陡峭，变化较快，在接近最低点的时候导数值依然很大。即α过大，可能会引起振荡，找不到极值点，α过小，会导致收敛时间太长。那么要怎么选取合适的α呢？吴恩达老师给的建议是从[0.001, 0.003, 0.01, 0.03, 0.1, 0.3…]中选择。在实验过程中可以通过判断第i次更新后的代价值是否小于第i-1次，若小于，可以稍微增大一点α，以更快的收敛；若大于，则需要减小α，防止发生振荡。

图 4 变换缓慢的J(θ)上的收敛过程

图 5 比较陡峭的J(θ)上的收敛过程

　　接下来，我们用一个例子说明梯度下降方法。求y=(x-1)²的最小值点，选步长为0.5：

　　① 设初始值x₀=0，则y=1，在x=0处梯度值为-2，

　　② 更新x₁=0-0.5*(-2)=1，则y=0，此处梯度值为0，找到最小值点（1,0）

　　接下来我们如何判断收敛呢？对于一般的数学函数来说，只要导数值为0即可，但是对于1/x这类函数来说，有两种方式来判断其是否收敛，一种是看J(θ)的函数图形，如果基本没有变化，则可认为是收敛；另一种为设置变化阈值ε，如ε<0.001，若两次相邻的J(θ)变化小于ε，则可认为是收敛了，但是如何确定ε的大小则比较困难。

多元线性回归

　　之前描述的是一元线性回归，那么如何对多元变量进行线性回归呢？如下表2的训练数据：

表2 多维特征数据

　　此时假设模型函数为，代价函数：，其中θ为5维向量，优化与求解与之前一样。

　　需要注意的是，因为特征中x₁, x₂之间的取值范围差异太大，得到的J(θ)性状窄长（因为取值范围一大一小），会导致收敛产生振荡，如下图6所示（手画，比较丑）。

图 6 特征取值范围较大时会出现振荡

　　产生振荡会使收敛不到最小点处，因此为了避免这种情况，我们需要对特征进行缩放，也相当于归一化处理，使他们的取值范围都在一个区间，通常我们将特征值除以该特征的最大值与最小值的差。比如若x1取值范围为650--3000，缩放为：x1/(3000-650)。缩放后代价函数变得相对圆些，如图7 所示，其收敛过程就相对平滑，也能较快收敛到最小值点。

图 7 特征缩放后的收敛相对平缓

　　2）正规方程求解参数

　　对于表2中的数据，我们添一列x₀，使其全为1，模型写为：h_θ(x) = θ₀x₀+θ₁x₁+θ₂x₂+θ₃x₃+θ₄x₄。我们记矩阵

　　其中，每一行为一个样本的所有特征，X称为设计矩阵（design matrix），为m*(n+1)型矩阵，其中m是训练集样本数，n为样本的特征数（不包括x₀）。记向量y=(460, 232, 315, 178, …)^T，即y为m*1型，同样记θ=(θ₀, θ₁，θ₂, θ₃, θ₄)为（n+1）*1型，类似于梯度下降的优化目标，有，令E_θ=(y-Xθ)^T(y-Xθ)，对θ求导得到，令其为0，可得到θ的最优解，θ=(X^TX)^-1X^Ty，但是X^TX的逆是否一直存在呢？其实不是的，当矩阵X中存在冗余的特征，那么就不可逆，还有，当m≤n，即特征数太多，对于这两种情况，都可以通过删除特征解决，对于冗余特征来说，我们删除掉冗余的特征，第二种情况除过删除特征外，还可以使用正则化的方式解决： θ=(X^TX+λB)^-1X^Ty，其中B为(n+1)*(n+1)型矩阵，其对角线上除B₁₁外均为1，其余为0，则括号内的矩阵绝对可逆。

（4）梯度下降法与正规方程比较

 3. 回归的一般方法

（1） 收集数据：采用任意方法收集数据；

（2） 准备数据：回归需要数值型数据，标称型数据将被转成二值型数据；

（3） 分析数据：绘出数据的可视化二维图将有助于对数据做出理解和分析，在采用缩减法求得新回归系数之后，可以将新拟合线绘在图上作为对比；

（4） 训练算法：找到回归系数；

（5） 测试算法：使用R²或者预测值和数据的拟合度，来分析模型的效果；

（6） 使用算法：使用回归，可以在给定输入的时候预测出一个数值，这是对分类方法的提升，因为这样可以预测连续型数据而不仅仅是离散的类别标签。

 4. 实例分析

　　为了可视化效果，我们只使用一个特征（size of feet²）来说明线性回归的实例应用。

（1） 收集数据：我们根据现实生活的情况，设定了20个样本，如下表3所示：

表3 训练样本集

（2） 准备数据：数据已是数值型数据；

（3） 分析数据：将其可视化如下图8.

图8 训练集数据的可视化

（4） 训练算法：

　　我们的假设为h_θ(x)=θ₀+θ₁*x，优化的目标函数为 ，根据梯度下降法，通过判断参数更新前后的代价函数差值来看是否α取得过大，即差值小于零，表示更新完参数后，代价值增加，说明有振荡产生，因此再减小α。经过试验，取学习率（下降步长）为10^-6，当连续两次代价函数差小于10^-6作为收敛条件，求得θ₀=-10.13，θ₁=0.18，此时的代价J(θ)=890.81

（5） 测试算法：

　　我们将得到的h_θ(x)与样本点画出来，如下图9.可以看出效果不错，毕竟事实就是房子面积越大，卖价越高，当然还有地段等因素影响，所以并不是完全都在直线上。

图 9 样本点与回归线

（6） 使用算法：我们用得到的线性模型对新样本x=2000，来预测该面积的房子卖价y=h_θ(x)=-10.13+0.18*2000=349.87，注意单位是千$。

5.线性回归的特点及其优缺点

使用数据类型：数值型和标称型数据

优点：

结果易于理解，计算上不复杂；

可以根据系数理解每个变量；

缺点：

对非线性的数据拟合不好；

对异常值非常敏感；

受噪声影响大；

只能表示线性关系；

 6. 代码实现（Java）

 https://www.cnblogs.com/datamining-bio/articles/9240378.html

机器学习（一）—— 线性回归

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