【做题】arc080_f-Prime Flip——转换、数论及匹配

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题意：有一个无限序列，其中有\(n\)个位置上的数为\(1\)，其余都是\(0\)。你可以进行若干次操作，每次选取序列上的一个区间\([l,r)\)，满足\(r-l\)为奇质数，将在这个区间上的数都异或上\(1\)。问最少进行多少次操作，使得序列上所有数都变为\(0\)。

\(n \leq 100\)

这类自己决定操作来让数列变为全零的问题，在atcoder上是挺常见的。

一般对于这种问题，要用差分或类似的操作，来让区间修改变为单点修改。例如，对于区间加的操作，就用差分将其变为两个单点加。至于这个问题，我们设原序列为数列\(\{a\}\)，则构建数列\(\{b\}\)满足\(b_n=a_{n-1} \,{\rm xor} \,a_n\)。这样，题目中的\([l,r)\)区间异或\(1\)就变成了将\(b_l\)和\(b_r\)都异或上\(1\)。

接下来，我们考虑操作可以被分为几个部分，每一个部分就是把两个为\(1\)的元素变为\(0\)，其余元素均不改变状态。于是，问题就变成了对\(\{b\}\)中为\(1\)的元素进行匹配。（可以发现，为\(1\)的元素的总数为偶数）

我们考虑两个位置的距离为\(d\)的元素，将他们都变为\(0\)，需要多少次操作。这等价于把\(d\)表示为最少数量的质数的和或差。

• \(d\)为奇质数。那么，显然一次操作就可以了。
• \(d\)为偶数。首先，从奇偶性上看，只用一次操作是不可能的。故至少需要两次操作。考虑\(d=2\)时，可以由\(2=5-3\)两次操作完成（存在位置离其中一个元素为\(5\)，另一个为\(3\)）。而若\(d \geq 4\)，由于哥德巴赫猜想在本题数据范围内是成立的，故一定能表示为两个质数的和，即可以用两次操作实现。
• \(d\)为奇合数。显然一次操作或两次操作都是不可能的。而\(d\)加上一个奇质数后是一个偶数，故也最多需要三次操作。

剩下的就是匹配的问题了。这里不能拆点做二分图带权最大匹配，很容易能举出反例。但是，我们可以用贪心来把所有元素分为两组。（此处瞄了题解）设\(k\)为所有匹配中\(d\)为奇质数的组数。那么，显然是\(k\)组奇数位置和偶数位置匹配。设奇数的位置上有\(n_1\)个元素，偶数的位置上有\(n_2\)个元素。那么，显然要让奇偶性相同的元素匹配到一起，操作总数最小。于是，我们可以得出，总操作数为\[k+2 \times (\lfloor \frac {n_0-k} {2}\rfloor+\lfloor \frac {n_1-k} {2} \rfloor) + 3 \times ((n_0 - k) \mod 2)\]

由于元素总数为偶数，\(n_0\)和\(n_1\)同奇偶，我们分奇偶讨论一下就能得到对于所有合法的\(k\)和\(k+1\)，\(f(k+1) \leq f(k)\)。因此，我们只要最大化\(k\)就可以了。我们根据奇偶性对元素分组，然后做二分图最大匹配就可以了。

时间复杂度\(O(n^2 + m)\)。\(m\)为权值大小。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 610, INF = 0x3f3f3f3f;
int p[N],n,cnt,st,en,x[N];
struct edge {
  int la,b,cap;
} con[N * N * 2];
int tot=1,fir[N];
void add(int from,int to,int capc) {
  con[++tot] = (edge) {fir[from],to,capc};
  fir[from] = tot;
  con[++tot] = (edge) {fir[to],from,0};
  fir[to] = tot;
}
int cur[N], dis[N];
int dfs(int pos,int imp) {
  if (pos == en || (!imp)) return imp;
  int expo = 0, tmp;
  for (int &i = cur[pos] ; i ; i = con[i].la) {
    if (dis[con[i].b] == dis[pos] + 1) {
      tmp = dfs(con[i].b,min(imp,con[i].cap));
      con[i].cap -= tmp;
      con[i^1].cap += tmp;
      expo += tmp;
      imp -= tmp;
      if (!imp) break;
    }
  }
  return expo;
}
bool bfs() {
  static queue<int> q;
  while (!q.empty()) q.pop();
  memset(dis,0,sizeof dis);
  for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
    cur[i] = fir[i];
  dis[st] = 1;
  q.push(st);
  for (int pos ; !q.empty() ; q.pop()) {
    pos = q.front();
    for (int i = fir[pos] ; i ; i = con[i].la) {
      if (con[i].cap && (!dis[con[i].b])) {
    dis[con[i].b] = dis[pos] + 1;
    q.push(con[i].b);
      }
    }
  }
  if (!dis[en]) return 0;
  return 1;
}
const int MAX = 10000010;
int isp[MAX + 10], pri[MAX / 10], pcnt, num[2];
set<int> prime;
void prework() {
  for (int i = 2 ; i <= MAX ; ++ i) {
    if (!isp[i]) pri[++pcnt] = i;
    for (int j = 1 ; j <= pcnt && pri[j] * i <= MAX ; ++ j) {
      isp[pri[j] * i] = 1;
      if (i % pri[j] == 0) break;
    }
  }
  for (int i = 2 ; i <= pcnt ; ++ i)
    prime.insert(pri[i]);
}
int main() {
  prework();
  scanf("%d",&n);
  for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i) {
    scanf("%d",&x[i]);
    if (x[i] == 1 || x[i] != x[i-1] + 1)
      p[++cnt] = x[i];
    if (i > 1 && x[i] != x[i-1] + 1)
      p[++cnt] = x[i-1] + 1;
  }
  p[++cnt] = x[n] + 1;
  n = cnt;
  st = ++n;
  en = ++n;
  for (int i = 1 ; i <= cnt ; ++ i) {
    ++ num[p[i]&1];
    if (p[i]&1) {
      add(st,i,1);
      for (int j = 1 ; j <= cnt ; ++ j) {
    int d = abs(p[i] - p[j]);
    if (prime.count(d))
      add(i,j,1);
      }
    } else add(i,en,1);
  }
  int ans = 0;
  while (bfs())
    ans += dfs(st,INF);
  printf("%d\n",ans + 2 * ((num[0] - ans) / 2 + (num[1] - ans) / 2) + ((num[1] - ans)&1) * 3);
  return 0;
}

小结：又看了一道思维题的题解……感觉表算高妙的同时，自己还深有不足。

【做题】arc080_f-Prime Flip——转换、数论及匹配

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