数学模型

时间：2018-07-08 23:06:05 阅读：282 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

\[g(n)=\sum_{d|n}f(d)\] \[f(n)=\sum_{d|n}{\mu(d)g(\frac{n}{d})}\]
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题目:

\[f(n)=\sum_{k=p}^n (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})g(k)\]
\[g(n)=\sum_{k=p}^n(-1)^{n-k}(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})f(k)\]
莫比乌斯函数、二项式、斯特林数以及它们的反演

公式:

\[g(n)=\sum_{d|n}f(d)\] \[f(n)=\sum_{d|n}{\mu(d)g(\frac{n}{d})}\]
\[f(n)=\sum_{k=p}^n (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})g(k)\]
\[g(n)=\sum_{k=p}^n(-1)^{n-k}(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})f(k)\]
\[g(n)=\sum_{n|d}{f(d)[d \leq m]}\] \[f(n)=\sum_{n|d}{\mu(\frac{d}{n})g(d)[d \leq m]}\]
如果\(f(n)\)是积性函数，且\((x, y) = 1\)，则有
\[f(xy)=f(x)f(y)\]
\[\sum_{i=1}^{n}{i[(i, n) == 1]}= \frac{\varphi(n)*n}2\]
(用到结论:\(if (i, n) == 1, then (n-i, n) = 1\))
\[d(ij)=\sum_{x|n}{\sum_{y|n} [(x, y) == 1]}\]
\[\sum_{i=1}^{n}{i \times \lfloor \frac{n}{i} \rfloor} = \sum_{i=1}^n{\frac{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor + 1)}{2}}\]
\[(id*\mu)(i)=\varphi(i)\]
\[(\varphi*I)(i)=id(i)\]
\[(\mu*I)(i)=e(i)\]
\[[n == 1]=\sum_{d|n}{\mu(d)}\]
\[n=\sum_{d|n}{\varphi(d)}\]
\[\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{m}ij}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]
除数函数 \[\sigma_k(n)=\sum_{d|n}{d^k}\]
约数个数函数 \[\tau(n)=\sigma_0(n)=\sum_{d|n}1\]
约数和函数\[\sigma(n)=\sigma_1(n)=\sum_{d|n}d\]
\[\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}\]
\[\sum_{i=1}^ni^2=\frac{(n+1)(2n+1)n}{6}\]
\[\sum_{i=1}^ni^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]
\[\varphi(ij)=\frac{\varphi(i)\varphi(j)(i,j)}{\varphi((i,j))}\]
\[[f(x) == 1] = e(f(x))=(\mu*I)(f(x))\]（常用于引进\(\mu\)以进行莫比乌斯反演，如[NOI2016]循环之美）

原文地址：https://www.cnblogs.com/zerolt/p/9281380.html

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