标签:content put algorithm 减法 EDA 方法 while 扩大 lin
3
3 1
5 1
7 2
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问题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?
简单点说就是,存在一个数x,除以3余2,除以5余三,除以7余二,然后求这个数。上面给出了解法。再明白这个解法的原理之前,需要先知道一下两个定理。
定理1:几个数相加,如果存在一个加数,不能被整数a整除,那么它们的和,就不能被整数a整除。
定理2:两数不能整除,若除数扩大(或缩小)了几倍,而被除数不变,则其商和余数也同时扩大(或缩小)相同的倍数(余数必小于除数)。
以上两个定理随便个例子即可证明!
现给出求解该问题的具体步骤:
1、求出最小公倍数
lcm=3*5*7=105
2、求各个数所对应的基础数
(1)105÷3=35
35÷3=11......2 //基础数35
(2)105÷5=21
21÷5=4......1
定理2把1扩大3倍得到3,那么被除数也扩大3倍,得到21*3=63//基础数63
3、105÷7=15
15÷7=2......1
定理2把1扩大2倍得到2,那么被除数也扩大2倍,得到15*2=30//基础数30
把得到的基础数加和(注意:基础数不一定就是正数)
35+63+30=128
4、减去最小公倍数lcm(在比最小公倍数大的情况下)
x=128-105=23
那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。下面详细解释每一步的原因。
(1)最小公倍数就不解释了,跳过(记住,这里讨论的都是两两互质的情况)
(2)观察求每个数对应的基础数时候的步骤,比如第一个。105÷3=35。显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除,就是其他数的最小公倍数。相当于找到了最小的起始值,用它去除以3发现正好余2。那么这个基础数就是35。记住35的特征,可以整除其他数但是不能被3整除,并且余数是2。体现的还不够明显,再看下5对应的基础数。21是其他数的最小公倍数,但是不能被5整除,用21除以5得到的余数是1,而要求的数除以5应该是余1的。所以余数被扩大,就得到了相应的基础数63。记住这个数的特征,可以被其他数整除但是被5除应该余三。同理,我们得到了第三个基础数23,那么他的特征就是:可以被其他数整除,但是不能被7整除,并且余数为2。
(3)第三步基础数加和,为什么要这样做呢?利用就是上面提到的定理1。
35+63+30=128。对于3来说,可以把63+30的和看作一个整体,应该他们都可以被3整除。看着上面写出的三个数的特征,运用定理1来说,就是在35的基础上加上一个可以被3整除的倍数,那么得到的结果依然还是满足原先的性质的,就是128除以同样还是余2的。同理,对于5还说,这个数被除之后会剩余3;对于7来说,被除之后剩余2。所以说,我们当前得到的这个数是满足题目要求的一个数。但是这个数是不是最小的,那就不一定了。
(4)应该不能确定是不是最小的数,这个时候就要用到他们的最小公倍数了。最小公倍数顾名思义,一定是一个同时被几个数整除的最小的一个数,所以减去它剩余下来的余数还是符合题意要求的。当然也同样可以运用定理1来解释,只不过是加法变成了减法,道理还是一样的。当然具体要不要剪还是要看和lcm的大小关系的。
稍微的总结一下:就是已知m1,m2,m3是两两互质的正整数,求最小的正整数x,使它被m1,m2,m3除所得的余数分别是c1,c2,c3。孙子定理的思想便是线分别求出被其中数mi整除余1而被另外两个数整除的数Mi(i=1,2,3),则所求数之一的便是c1M1+c2M2+c3M3。由此我们可以得到n个两两互质数的情况。证明上面已经一步一步给出。
那么,到此为止基本的中国剩余定理的内容我们以及了解了,包括解答方法。那么如何编码呢?按照上面这个思路去编码,其实并不难。一共分为四大步。但是,大多数人的困惑在于如何求取基础数。这里呢,提供两种方法:
(1)第一种就是一直递增,直到找到。例如:3的基础数,35是其他数的最小公倍数。那么就从35开始,一直自增,知道余数为2,便停止(利用while循环)。
(2)第二种方法呢就是辗转相除法上得来的。这里的例子体现的不够明显,应当看看去求取乘法逆元的过程,下面讲的内容和乘法逆元有很大的关系,所以还是看看的好。简单举个例子:
假设现在三个数分别是14,3,5,它们两两互质,且要求的数除以5余3。求5对应的基础数。有:
42÷5=8......2
5÷2=2......1
所以1=5-2*2=5-2*(42-8*5)=-2*42+17*5
那么-2*42=-84 17*5=85 -84+85=1
把1扩大3倍变成3,则有-84*3=-252也就是5对应的基础数。
第一点: 基础数可以是负数,这个之前点到过。//并且下面的解法就是有这样的。
第二点: 当得到余数为1的时候后面的算式相当于是一个回溯的过程,最后解到-2*42。 但是还只不过是余数是1的情况对应的数,再运用定理2我们就得到了-252这个基础数。实际上要是看过乘法逆元,这里实际就是乘法逆元的求解过程,而-2也就是42关于15取模的乘法逆元。
即首先求解
M[i]*t[i]≡1(mod m[i])
然后ans+=a[i]*M[i]*t[i] mod mi;
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; ll aa[100],m[100],M[100]; ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ if(b==0){ x=1; y=0; return a; } ll d=exgcd(b,a%b,x,y); ll z=x; x=y; y=z-a/b*y; return d; } int main(){ int n; scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&m[i],&aa[i]); ll mi=1; for (int i=1;i<=n;i++) mi*=m[i]; for (int i=1;i<=n;i++) M[i]=mi/m[i]; ll ans=0; for (int i=1;i<=n;i++){ ll x,y,b; exgcd(M[i],m[i],x,y); ans=(ans+M[i]*aa[i]*x%mi)%mi; } printf("%lld\n",(ans+mi)%mi); return 0; }
标签:content put algorithm 减法 EDA 方法 while 扩大 lin
原文地址:https://www.cnblogs.com/lmjer/p/9309167.html