线段树之入门篇

线段树(interval tree) 是把区间逐次二分得到的一树状结构，它反映了包括归并排序在内的很多分治算法的问题求解方式。

 

上图是一棵典型的线段树，它对区间[1,10]进行分割，直到单个点。这棵树的特点
是：
1. 每一层都是区间[a, b]的一个划分，记 L = b - a

2. 一共有log2L层
3. 给定一个点p，从根到叶子p上的所有区间都包含点p，且其他区间都不包含点p。
4. 给定一个区间[l; r]，可以把它分解为不超过2log2 L条不相交线段的并。
其中第四点并不是很显然，图8.1显示了[2, 8]的分解方式，深灰色结点为分解后的
区间，浅灰色结点是递归分解过程中经过的结点。为了叙述方便，下面称树中的结点
所对应的区间为树中区间。

 

 

　　从第3点和第4点可以得出结论：修改一个点只用修改log2 L个树中区间信息，而统计一个区间只需要累加2log2 L个树中区间的信息，且访问的总结点数是O(log L)的。两个操作都很容易实现。

　　动态统计问题I 有一个包含n个元素的整数数组A，每次可以修改一个元素，也可以询问某一个区间[l; r]内所有元素的和。如何设计算法，使得修改和询问操作的时间复杂度尽量低？
　　方法一 直接做， 则修改操作是O(1)的， 但询问需要进行累加， 时间复杂度为O(r ? l)，最坏情况为O(n)。
　　方法二 建立一棵线段树，每个树中区间记录该区间的元素和，则由刚才的结论，修改元素时只需要修改log2 L个树中区间的元素和，而统计时只需要累加2log2 L个树中区间的元素和，两个操作都是O(log n)的，比方法一好很多。

　　动态统计问题II 有一个包含n个元素的整数数组A，每次可以同时给一个区间[l; r]内的数同时增加一个数d（d可以为负），也可以询问某一个数Ai的值。如何设计算法，使得修改和询问操作的时间复杂度尽量低？

　　如何快速修改一个区间？修改一个树中区间[a; b]将影响到以[a; b]为根的整棵子树和它的所有祖先，所以如果沿用刚才的线段树定义，是不可能快速实现区间修改操作的。
　　解决方法是借用数据结构中常用的\懒操作"的思想，只记录有哪些操作需要执行，而不去真正执行这些操作。换句话说，在需要给树中区间[l; r]的元素同时增
加d时，我们只记录\曾经有一条指令add(l, r, d)"就可以了。我们把记录的这个值称为树中区间的add值，则叶结点的元素值为它所有祖先的add值之和。根据前面的结论，每一条任意区间的修改指令可以分解成2log2 L个树中区间的修改指令，且修改操作具有叠加性，因此修改操作的时间复杂度为O(log n)。查询操作只
需要累加叶子的所有祖先，它也是O(log n)的。

　　动态统计问题III 有一个包含n个元素的整数数组A，每次可以同时给一个区间[l; r]内的数同时增加一个数d（d可以为负），也可以询问一个区间[l; r]内所有元素的和。如何设计算法，使得修改和询问操作的时间复杂度尽量低？

　　显然前两个问题都是此问题的特殊情况，因此这个问题比前两个问题难度更大。注意到上一个问题线段树只能提供叶结点的真正元素和，因为对于任何一个树中区间[l; r]来说，影响它的指令所修改的区间不仅包括它的所有祖先，也包括它的所有后代。所以[l; r]内的所有元素和应该等于[l; r]的所有祖先的add值加上[l; r]所有后代的add值。

　　但后代有很多，直接累加的时间开销过大。这里需要再一次利用线段的树的区间相加性质，记录一个附加值sum_of_add，表示以[l; r]为根的子树上所有树中区间的add值之和。
　　修改操作把区间分解为树中区间，修改它们的add值，并且要顺便修改它们父亲的sum_off_add值。由于区间分解过程访问的总结点是O(log L)的，因此修改操作是O(log n)的。
　　查询操作把区间分解为树中区间，并统计它们所有祖先的add值之和，再与这些树中区间本身的sum_off_add相加即可。

 

文章出自《算法艺术与信息学竞赛》 ---- 作者：刘汝佳