Leetcode 树 Unique Binary Search Trees

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   1         3     3      2      1
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题意：给定数字n，问以1至n的值为节点的二叉查找树有多少棵
思路：


先看一个例子。当n=3时，有5棵二叉查找树，分别为
  1             1                2             3            3
   \             \              / \           /            /      
    2  3            1   3         2            1
  \ /                          /          \
 3         2                          1                2


以i为根的二叉查找树，其左子树是由[1,i-1]构成，右子树是由[i+1,n]构成。
总的二叉查找树的数量等于左子树的数量乘以右子树的数量
例如以1为根的二叉查找树的数量为2，等于它的左子树的数量1（一棵空子树）乘以
它的右子树的数量2.
实现的时候可以用递归实现
递归函数：
int numTrees(int begin, int end)
表示以[begin, end]中的值为节点的二叉查找树的数量
优化：
加入记忆化搜索。由于二叉查找树的数目只跟有多少个数有关，而跟这此数是在哪个区间的无关，
所以可以用f[i]表示以i个数为节点的二叉查找数的棵数。


复杂度：时间O(log n)，空间O(1)


思路2：前面的分析和思路1一样，后面采用动态规划
用f[i]表示以i个数为节点的二叉查找数的棵数
状态转移方程为：
f[i] = sum_k (f[k - 1] * f[i - k])
复杂度：时间O(n^2)，空间O(n)

注：二叉查找树（来自wikipedia）：也称有序二叉树，排序二叉树，是指一棵空树
具有下列性质的二叉树：
1.若任意节点的左子树不空，左子树上的所有结点的值均小于它的根结点的值
2.若任意节点的右子树不空，右子树上的所有结点的值均大于它的根结点的值
3.任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树
4.没有键值相等的节点

相关题目：Unique Binary Search Trees II

//思路1
class Solution {
public:
    int numTrees(int n){
		f = vector<int>(n + 1, 0);
    	return numTrees(1, n);
    }
    
    int numTrees(int begin, int end){
		int n = end - begin + 1;
		if(f[n]) return (f[n]);
    	if(begin > end) return 1;
    	int sum = 0;
    	for(int i = begin; i <= end; i++){
    		sum += numTrees(begin, i - 1) * numTrees(i + 1, end);
    	}
		f[n] = sum;
    	return sum;
    }
private:
	vector<int> f;
};

//思路2
class Solution {
public:
	int numTrees(int n){
		vector<int> f(n + 1, 0);
		f[0] = 1;

		for(int i = 1; i <= n; i ++){
			for(int k = 1; k <= i; k ++){
				f[i] += f[k - 1] * f[i - k];
			} 
		}
		return f[n];
	}
};

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