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匹配
• 设G = <V, E>, 若E*(E*?E)中任何两条边均不相邻,
• 则称E*为G中边独立集, 也称E*为G中的匹配(Matching);
图(a)中, E*= { e1, e4, e7 }就是一个匹配。所谓任何两条边均不相邻,
通俗地讲,就是任何两条边都没有公共顶点。
若在E*中加入任意一条边所得集合都不是匹配, 则称E*为极大匹配;
边数最多的匹配称为最大匹配;
最大匹配的边数称为边独立数或匹配数, 记作β1(G), 简记为β1。
图(a)中, { e2, e6 }, { e3, e5 }, { e1, e4, e7 }都是极大匹配,
{ e1, e4, e7 }是最大匹配, β1 = 3。
图(b)中, { e1, e3 }, { e2, e4 }, { e4, e7 }都是极大匹配, 也
都是最大匹配, β1 = 2。
二部图(二分图)
二部图:如果图G是一个简单图,它的顶点集合V是由两个没
有公共元素的子集X={X1,X2,..,Xm}与子集Y={Y1,Y2,…,Yn},
并且Xi与Xj(1≤i,j≤m)之间, Ys与Yt(1≤s,t≤m)之间没有边连接,
则G称为二部图。
完美(完备)匹配
对于一个图G与给定的一个匹配M,如果图G中不存在M的未
盖点(不饱和点),则称匹配M为图G的完美匹配 。
图(a)中, M = { e1, e4, e7 }为完美匹配(最大匹配),
它也是最小边覆盖。
图(b)中不可能有完美匹配, 因此, 对任何匹配都
存在未盖点。
任取一个最大匹配, 比如: M = { e2, e4 }, 则
M∪{ e6 }, M∪{ e8 }, M∪{ e7 }都是图的最小边覆盖。
任取一个最小边覆盖, 比如: W = { e1, e3, e6 }, 从
中移去一条相邻的边, 则{ e1, e3 }和{ e1, e6 }都是图的
最大匹配。
我们通常这样来做:
用最大匹配通过增加关联未盖点(不饱和点)的边获得最小边覆盖;
用最小边覆盖通过移去相邻的一条边获得最大匹配。
二分图的最大匹配
求二部图的最大匹配的算法有:
1. 网络流
1. 其中dinic为 O(Msqrt(N))
2. 匈牙利算法
1. O(MN)
2. 代码量最小,要求掌握
3. Hopcroft-Karp算法(匈牙利算法的改进)
1. O(Msqrt(N))
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原文地址:https://www.cnblogs.com/Mary-Sue/p/9343222.html