矢量运算_向量积

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　　向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。

计算

\begin{equation*}
\vec{a}=\left(a_x,a_y,a_z\right)\qquad \vec{b}=\left(b_x,b_y,b_z\right) \\
\begin{array}{rl}
\vec{a}\times\vec{b}=&\varepsilon_{ijk}\vec{e_i}a_j b_k \\
=&\left[\begin{array}{ccc}
 0 & -a_3 & a_2 \\
a_3 & 0 & -a_1\\
-a_2 & a_1 & 0
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c}
b_1 \\ b_2 \\ b_3
\end{array}\right]\\
=&\left(a_y b_z-a_z b_y\right)\vec{i}+\left(a_z b_x-a_x b_z\right)\vec{j}+\left(a_x b_y-a_y b_x\right)\vec{k}
\end{array}
\end{equation*}

力学例子

　　假设一个刚体绕定轴转动，设转动的角速度 [rad/s] 用矢量 $\vec{\omega}\left(t\right)$ 表示，其大小表示转动快慢，方向为这个轴所在的方向，右手定则确定轴的正负方向。对于离轴距离为 $\vec{r}$ 的点而言，存在瞬时线速度：

$$\vec{v}\left(t\right)=\vec{\omega}\left(t\right)\times\vec{r}\left(t\right)$$

由公式可见，即使定常转速，只要离轴矢量 $\vec{r}$ 变化，线速度就会变化。同时，观察等式两端的量纲，不难发现 $\vec{\omega}\times$ 类似于时间微分算子。这是因为角度与矢量的乘积仍为矢量所造成的：

$$\vec{\omega}\times\vec{r}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{\Delta \vec{\vartheta}}{\Delta t}\times\vec{r}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{\Delta \vec{\vartheta}\times \vec{r}}{\Delta t}$$

注意到，上式中的 $\vartheta$ 是个矢量。想来角度应是一个标量，但是为什么是矢量呢？实际上，我们讨论角度时都是在一个二维平面上讨论的，在三维空间中讨论角度时，必须借助一个平面来确定我们说的角度所在平面，这个平面的法向矢量就是角度的方向。

　　对于一个角速度 $\vec{\omega}$ 矢量端图轨迹沿定轴转动 $\vec{\omega}^\prime$ 的运动而言，角速度加速度有：

$$\vec{\varepsilon}=\vec{\omega}^\prime\times\vec{\omega}$$

可以得到推论，对于一个矢量 $\vec{a}$，如果其矢量端图的轨迹是沿定轴转动 $\vec{\omega}_a\left(t\right)$ 的话，该矢量随时间变化率有：

$$\dfrac{\partial \vec{a}}{\partial t}=\vec{\omega}_a\times\vec{a}$$

感觉自己在胡说八道。

其实并不是。

END

矢量运算_向量积

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原文地址：https://www.cnblogs.com/adgk07/p/9347807.html