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在线学习通俗的讲指的是在线上实时接受数据并对模型进行训练更新，这里所说的模型可以是线性回归，逻辑回归，神经网络等等，所解决的问题可以是分类也可以是回归。在现实中在线学习主要应用在搜索排名，广告点击等领域，其优势体现在以下几点：
训练数据无需满足独立同分布条件，数据分布可以随时间变化；
无需大量数据预训练，可以线上实时获取数据进行训练；
实时更新，针对数据变化及时响应，调整模型参数以达到更精准预测；
本文将会聚焦在线学习中极为重要的一类，凸在线学习（Online Convex Learning），从理论上解读并理解在线学习模型，探究当前工业界应用最广的 FTRL-Proximal 方法的演变过程，为之后的代码实现和方法应用铺平道路。
首先我们要知道在线学习究竟要解决一个什么样的问题，在在线学习框架下，我们在时间 \(t\) 接收到实时数据 \(x_t\)，做出预测 \(p_t\)，之后收到正确值 \(y_t\)，受到损失 \(f(p_t, y_t)\)。我们想要得到一个策略使得我们能够在未来有尽可能小的损失，一个很自然的想法是通过在每一步最小化累积损失来做决策。不过问题没有这么简单，最小化累积损失的实质是最小化经验风险，在独立同分布假设下最小化经验风险即最小化期望风险，这能保证泛化性。但是在在线学习的情境下，数据通常不是独立同分布的，经常带有时序性，这就意味着最小化累计损失没有意义，一个能够最小化累积损失的策略并不能保证未来能有最小的损失。还有一个想法是，如果有一个先知能够指引我们前进，那么我们只需要跟紧他就能保证未来也能得到尽可能小的损失。由此，我们定义经历 \(T\) 时刻的后悔 \(Rrgret_T\) 为我们的决策所导致的累积损失和最优决策（先知）所导致的累积损失之差，形式如下：
\[Regret_T = \sum\limits_{t=1}^Tf_t(w_t) - \min_w \sum\limits_{t=1}^Tf(w)\]
因此我们想要找到某个算法，它能够最小化 Regret。需要阐明的是，Regret 是从理论角度对算法的评估，其具体表现为 Regret Bound，而不是一个数值。所谓最小化 Regret，就是我们希望找到一个算法，它的 Regret Bound 能足够小。不过事实上低 Regret 算法，即 Regret 随时间 \(T\) 次线性增长，已经能满足我们的需求了。次线性增长是指 \(\displaystyle\lim_{T\to \infty} \frac{Regret_T}{T} = 0\)。次线性增长意味着算法的平均表现和最优决策的平均表现是相当的。
接下来，我们仔细谈谈凸在线学习里面的各种低 Regret 算法，在这里我们主要谈一阶方法，比如镜面下降（Mirror Descent）以及 FTRL（Follow the Regularized Leader），这两大类的本质是相同的，只是看待问题角度不同，这一点在之后会谈到。
在正式开始讨论之前，我们首先要定义几个符号。\(w_t\) 是 \(t\) 时刻的参数，\(f_t(w_t)\) 是 \(t\) 时刻的损失函数，\(S\) 是参数所在的凸集，\(\alpha\) 是学习率，\(\nabla f_t\) 是梯度，\(\partial f_t\) 是次梯度。
如何进行在线学习？最容易想到的方法就是最小化累积损失，也就是 FTL（Follow the Leader），其形式如下：
\[w_t = \arg \min_{w \in S} \sum\limits_{i=1}^{t-1}f_i(w)\]
在 2.1 节我们谈到了能最小化累计损失不能说明此算法在在线学习场景是有效，我们需要探究算法的 Regret bound。
对任意的 \(u \in S\)，都有
\[Regret_T(u) = \sum\limits_{i=1}^T (f_t(w) - f_t(u)) \leq \sum\limits_{i=1}^T (f_t(w) - f_{t+1}(w))\]
通过归纳法可以很容易证明以上定理，但是这个上界在 \(w_t\) 不停上下震荡（比如在1和-1循环取值）的时候是会达到 \(O(T)\)，不满足次线性。我们可以在 FTL 基础上加上正则项 \(R(w)\) 使得算法变得“平稳”一些。这就是 FTRL（Follow the Regularized Leader）。注意，FTRL 里的正则项和所谓的稀疏性并没有联系，只是为了让算法更稳定从而满足次线性。其形式如下：
\[w_t = \arg \min_{w \in S} \sum\limits_{i=1}^{t-1}f_i(w) + R(w)\]
正则项可以有多种不同的选择。首先我们讨论线性损失函数加上 \(L_2\) 正则项的情形。为方便起见，定义 \(z_t = \partial f_t(w_t)\)。
损失函数为 \(f_t(w) = \left<w, z_t\right>\)，正则项为 \(R(w) = \frac{1}{2\eta}||w||_2^2\)，其中 \(\eta\) 是某个常数，代入 FTRL 更新式很容易验证：
\[w_{t+1} = -\eta\sum\limits_{i=1}^tz_i = w_t - \eta z_t = w_t - \eta \partial f_t(w_t)\]
这就是在线梯度下降（Online Gradient Descent (OGD)），OGD 是 FTRL 当损失函数为线性以及正则项为 \(L_2\) 的特殊形式，它的 Regret bound 可以被证明是 \(O(\sqrt T)\)，这里就不展开了，这能够说明 OGD 在在线学习场景中是有理论来保障其性能的。我们还能延扩到其它凸损失函数领域而不只是局限于线性函数，利用凸函数定义可得，
\[\sum\limits_{i=1}^t f_i(w_i) - f_i(w^*) \leq \sum\limits_{i=1}^t z_i(w-w^*)\]
可以看到线性函数的 Regret 构成了凸函数的上界，所以我们只需要针对线性函数即可，能够证明凸损失函数函数加上 \(L_2\) 正则项的 Regret bound 在满足一定条件下是 \(O(\sqrt T)\) 的，同时延拓到其它强凸的正则项 \(R(w)\) 也是可行的。此时我们可以得到 FTRL 的通式：
\[w_{t+1} = \arg \min_{w\in S} \; \eta\sum\limits_{i=1}^tz_iw + R(w)\]
在每回合，FTRL 都需要求解一个优化问题，在线镜面下降（Online Mirror Descent (OMD)）可以简化 FTRL，同时其 Regret bound 和 FTRL 是一致的。OMD 和线性损失函数加正则项的 FTRL 是等价的，下面我们来推导一下。为了方便起见，定义 \(z_{1:t} = \sum\limits_{i=1}^t z_i\)。
\[ \begin{align} w_{t+1} &= \arg \min_w R(w) + \sum\limits_{i=1}^t \left<w, z_i\right> \ &= \arg \min_w R(w) + \left<w, z_{1:t}\right> \ &= \arg \max_w \left<w, -z_{1:t}\right> - R(w) \end{align} \]
定义连接函数 \(g(\theta) = \arg \max_w \left<w, \theta\right> - R(w)\)（注意连接函数可以是已定义的函数，此时OMD就不需要每回合求解一个优化问题）此时 FTRL 的更新式就变成了以下形式：
\[ \begin{align} w_{t} &= g(\theta_{t}) \\theta_{t+1} &= \theta_t - z_t = \theta_t - \partial f_t(w_t) \end{align} \]
OMD 的更新形式很像是 OGD，事实上，OGD 正是 OMD 最简单的形式。当 \(g(\theta) = \eta \theta\)，\(\eta > 0\) 以及 \(S \in R^d\)，很容易能看出 OMD 就是 OGD。当\(g\)函数是一般的非线性函数时，\(w_{t+1}\) 是通过连接函数 \(g\) 将 \(\theta_{t+1}\) “映射”（mirror）到 \(S\) 集合中得到的。这就是 OMD 名字的由来。
OMD 是一个大家族，包含了各种梯度下降式算法，我们首先从 OGD 看起，OGD 形式如下：
\[w_{t+1} = w_{t}-\alpha \nabla f_t(w_t)\]
我们在此讨论离线形式的随机梯度下降（SGD），即每次输入一个样本对参数进行更新。SGD 有一个很大的缺陷，即要求目标函数必须是光滑的，这一点在现实中较难满足，因为通常为了达到稀疏性我们要考虑正则项，\(L_1\) 正则在 \(0\) 点是不可微的。因此需要对 SGD 作出一点改进，将梯度改成次梯度，次梯度的定义为 \(\partial f = \{u \mid f(y) \geq f(x)+u^T(y-x)\}\)，此时 \(L_1\) 正则在 \(0\) 点的次梯度为 \(\left[-1, 1\right]\) 中元素。
梯度下降转化为了次梯度下降（Subgradient Descent (SubGD)），形式如下：
\[w_{t+1} = w_{t} - \alpha_t \partial f_t(w_t)\]
次梯度下降从理论上解决了非光滑损失函数这一类问题，但是其收敛速度较慢，只有 \(O(1/\sqrt t)\)，梯度下降的收敛速度为 \(O(1/t)\)。究其原因，由于损失函数非光滑，导致次梯度值会出现急剧变化，比如从-1跳到了1，尽管 \(w_t\) 和 \(w_{t+1}\) 是很接近的，这就导致了收敛速度减慢。为了解决这种问题，我们可以采取“作弊”的方式，用 \(t+1\) 时刻的次梯度去更新得到 \(w_{t+1}\)，这就是后向次梯度下降。这个问题第一眼看是没法解的，我们得不到 \(w_{t+1}\) 的更新式，不过我们可以利用 Fermat 引理来求解。
\[0 \in w_{t+1} - w_t + \alpha_t \partial f_t(w_{t+1}) \] 等价于
\[w_{t+1} = \arg\min_w \frac{1}{2} ||w - w_t||_2^2 + \alpha_t f_t(w)\]
为方便起见，引入邻近算子（proximal operator）概念：
\[prox_{\alpha f}(y) = \arg\min_w \frac{1}{2} ||w-y||_2^2 + \alpha f(w)\]
这时后向次梯度下降的形式为：
\[w_{t+1} = prox_{\alpha_t f_t}(w_t)\]
在实际的大量凸优化问题中，损失函数本身可能是凸光滑的，所带的正则项是非光滑的，问题转化为最小化 \(f(w) + \lambda \Psi(w)\)，\(\Psi(w)\) 是非光滑的正则项。这时为了适应特定问题场景，后向次梯度下降转化为了前向后向分割（FOBOS），FOBOS 的全称是 Forward-Backward Splitting，之所以不叫 FOBAS 是为了和之前的 FOLOS Forward-Looking Subgradients 保持一致，避免引起读者的误解。
FOBOS 分为两步进行，对于光滑项梯度下降，对于非光滑项后向次梯度下降。具体形式如下：
\[ \begin{align} w_{t+\frac{1}{2}} &= w_t - \alpha_t\nabla f(w_t) \w_{t+1} &= prox_{\lambda \alpha \Psi}(w_{t+\frac{1}{2}}) \end{align} \]
统一起来，其形式为
\[w_{t+1} = prox_{\lambda \alpha \Psi}(w_t - \alpha_t\nabla f(w_t))\]
因此 FOBOS 又可以被叫做邻近梯度下降（Proximal Gradient Descent (PGD)）
以上导出 FOBOS 的过程看上去很直观，但实际上缺乏一些理论依据。接下来我们从理论角度重新推导 FOBOS。
首先，对于损失函数，我们采用二阶近似来逼近，用 \(\frac{1}{\eta} I\) 代替 \(\nabla^2 f\)。
\[f(y) \approx f(x) + \nabla f(x)^T (y-x) + \frac{1}{2\eta}||y-x||_2^2\]
实质上，这是一阶逼近加上\(x\)的邻近项。这样一来，在下一个时间点，我们就是要最小化二阶逼近值。通过配完全平方法，我们很容易能得到：
\[w_{t+1} = \arg\min_w \frac{1}{2\eta}||w - (w_t - \alpha_t\nabla f(w_t))||_2^2 + \Psi(w)\]
这就是 FOBOS 的最终形式。
看上去 FOBOS 是比梯度下降复杂多了，实际上不然，在很多场景下邻近算子是非常容易求得的，比如 LASSO。当正则项为 \(L_1\) 的时候，我们把它的邻近算子称为软阙值算子 \(T_\alpha\)（soft-thresholding operator），其形式为：
\[\left[prox_{\alpha ||.||_1}(y)\right]_i = \left\{ \begin{array}{rcl} y_i + \alpha, & & {y_i \leq -\alpha} \0, & & {\vert y_i\vert \leq \alpha} \y_i - \alpha, & & {y_i \geq \alpha} \end{array} \right. \]
以上，我们都是在讨论线下场景的凸优化，凸在线学习本质上和线下凸优化是一致的，不过也有一些不同。以梯度下降为例，在线学习中梯度下降的形式为在线梯度下降（OGD），OGD 和 SGD 本质上是相同的，即每次使用一个样本的梯度下降。但是两者应用的场景不同，OGD 适用于线上情景，损失依次到来，OGD 在每一步最小化累积损失，其 Regret bound 在损失函数\(\alpha-\)强凸情况下能达到 \(O(log(T))\)，Regret 次线性增长能够证明 OGD 是适用于在线学习场景的。FOBOS 的在线版本也是同理，Regret bound 在损失函数\(\alpha-\)强凸情况下能达到 \(O(log(T))\)。
SubGD 还有一个问题，在于新的次梯度的权重比老次梯度要低。具体的推导如下：
考虑二阶近似，令 \(Z_t = \sum\limits_{i=1}^t \eta_i\)，\(g_t = \partial f(w_t)\)
\[\begin{align} w_{t+1} &= \arg \min_w f(w_t) + g_t(w-w_t) + \frac{1}{2\eta_t}||w-w_t||_2^2 \&= \arg \min_w \eta_t \left[f(w_t) + g_t(w-w_t)\right] - w^Tw_k + \frac{w^Tw}{2} \&= \arg \min_w \eta_t \left[f(w_t) + g_t(w-w_t)\right] - w^T(w_{t-1} - \eta_{t-1}g_{t-1}) + \frac{w^Tw}{2} \&= \arg \min_w \frac{\sum_{i=1}^t \eta_i}{\sum_{i=1}^t \eta_i} \left[f(w_i) + g_i(w-w_i)\right] + \frac{||w||_2^2}{2\sum_{i=1}^t \eta_i} \&= \arg \min_w \sum\limits_{i=1}^t \frac{\eta_i}{Z_t} \left[f(w_i) + g_i(w-w_i)\right] + \frac{||w||_2^2}{2Z_t} \end{align}\]
可以看出，老的次梯度相比新的次梯度有更高的权重，这显然不合理。对偶平均（Dual Averaging）通过赋予所有次梯度同等权重，解决了 SubGD 这种缺陷。
定义 \(\hat g_t = \frac{1}{t}\sum\limits_{i=1}^t g_i\)，
\[\begin{align} w_{t+1} &= \arg \min_w \frac{1}{t} \sum\limits_{i=1}^t \left[f(w_i) + g_i(w-w_i)\right] + \frac{\mu_t ||w||_2^2}{2t} \&= \arg \min_w \hat g_t w + \frac{\mu_t ||w||_2^2}{2t} \end{align}\]
其中 \(\mu_t\) 是步长。
SubGD 的在线版本还有一个额外的缺陷，即无法得到稀疏解，于是微软提出了正则对偶平均（Regularized Dual Averaging (RDA)），能得到比 FOBOS 更稀疏的解。相比于 DA，RDA 增加了一个正则项 \(\Psi\) ，用一个强凸函数 \(h\) 替代了原先的二阶范数，其形式如下：
\[w_{t+1} = \arg \min_w \hat g_t w + \frac{\mu_t}{t}h(w) + \Psi(w)\]
由于是在线算法，因此出于运行效率的考量，通常选取简单形式的 \(h\) 和 \(\Psi\)，比如二阶范数和 \(L_1\) 正则项，令 \(\mu_t = \gamma\sqrt t\)。接下来，我们就来求解这种简单形式的 RDA：
\[w_{t+1} = \arg \min_w \hat g_t w + \frac{\gamma}{2\sqrt t}||w||_2^2 + \lambda ||w||_1\]
将其右式分成 \(n\) 个独立式分别求解，令 \(\gamma_t = \frac{\gamma}{\sqrt t}\)，这就转化为了：
\[minimize \ \, \hat g_tw + \lambda \vert w \vert + \frac{\gamma_t}{2} w^2\]
求导之后可得，
\[g_t + \lambda \delta + \gamma_t w^* = 0\]
其中 \(w^*\) 是最优解，\(\delta \in \partial \vert w \vert\)，之后根据 \(\delta\) 的取值分情况讨论，最终可以得到 RDA 的闭式解，
\[w_{t+1}^{(i)} = \left\{ \begin{array}{lcr} 0, & & {\vert \hat g_t^{(i)} \vert \leq \lambda} \-\frac{\sqrt t}{\gamma}(\hat g_t^{(i)} - \lambda sgn(\hat g_t^{(i)})), & & {otherwise} \end{array} \right. \]
现在我们有了两个 SubGD 加强版算法，FOBOS 以及 RDA。FOBOS 相比 RDA 能够达到更高的精度，而 RDA 能够得到更稀疏解，Google 融合两者各取所长提出了如今在工业界中应用甚广的 FTRL Proximal。
为了看得更清楚一些，我们把 FOBOS 和 RDA 写成相似的形式（推导过程不严格）：
\[\begin{align} FOBOS \qquad w_{t+1} &= \arg\min_w \frac{1}{2\eta}||w - (w_t - \alpha_tg_t)||_2^2 + \lambda ||w||_1 \ &= \arg\min_w g_tw + \lambda ||w||_1 + \frac{1}{2}||Q_{1:t}^{1/2}(w-w_t)||_2^2 \end{align}\]
\[\begin{align} \qquad RDA \qquad \; w_{t+1} &= \arg \min_w \hat g_t w + \lambda ||w||_1 + \frac{\mu_t}{2t}||w||_2^2\ &= \arg \min_w g_{1:t}w + t\lambda||w||_1 + \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^t||Q_i^{1/2}(w-0)||_2^2 \end{align}\]
在这里 \(Q\) 是学习率，\(g_t\) 是损失函数的梯度，\(g_{1:t} = \sum_{i=1}^t g_i\)。从以上可以看出，更新式分为三项，第一项是损失函数的一阶近似，第二项是非光滑正则项，此处为 \(L_1\) 正则，第三项为强凸正则项，此处为 \(L_2\) 正则。
从通式上我们能看出 FOBOS 和 RDA 总共有三点不同：
FOBOS 的优化只针对了最近的梯度，而 RDA 针对了过去所有的梯度；
RDA 的优化针对了累积的 \(L_1\) 正则，而 FOBOS 只针对了当前的；
FOBOS 强凸项中心化点为 \(w_t\)，而 RDA 的中心化点为 \(0\)；
事实上，Google 在论文中证明了一个等价定理，即 OMD 和 FTLR 等价。如此一来 FOBOS 的更新式能够等价地写成：
\[FOBOS \qquad w_{t+1} = \arg \min_w g_{1:t}w + \phi_{1:t-1}w + \lambda ||w||_1 + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^t||Q_i^{\frac{1}{2}}(w-w_i)||_2^2\]
此处 \(\phi\) 是 \(L_1\) 正则的次梯度。这个更新式和 RDA 就更像了。FOBOS 的优化是针对基于次梯度估计的累积 \(L_1\) 正则，经实验验证正是因为次梯度估计的存在才导致了 FOBOS 的稀疏性不如 RDA 来得好。FOBOS 的强凸项中心化点为当前的点而非原点，这个好处是更新后我们不会在预测我们已经见过的样本时有太多偏差，这就是所谓的 Proximal 名字的来历。
FTRL Proximal 在处理稀疏性上和 RDA 一致，处理中心化点上和 FOBOS 一致，如此一来既达到了更好的稀疏性又提升了精确度，其形式如下：
\[w_{t+1} = \arg \min_w g_{1:t}w + t\lambda||w||_1 + \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^t||Q_i^{1/2}(w-w_t)||_2^2 \]
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