标签：pre 朴素 def for exit define mil crt getchar
CRT是用于解一组同余方程：
$ x ≡ c1 ( mod\ m1)$
$ x ≡ c2 ( mod\ m2)$
...
$ x ≡ cn ( mod\ mn)$
当模数两两互质的时候，显然可以直接用朴素CRT合并
那当模数不互质的时候，就需要推一波式子采用扩展CRT了
考虑合并两个方程：
$ x ≡ c1 ( mod\ m1)$
$ x ≡ c2 ( mod\ m2)$
显然有$ x = c1+k1m1$, $ x = c2+k2m2$, 即$c1+k1m1=c2+k2m2$
移项得$ k1m1=k2m2+c2-c1$
我们令$ t=gcd(m1,m2)$, 则有$ \frac{m1}{t}k1=\frac{m2}{t}k2+\frac{c2-c1}{t}$
显然当且仅当$ t|c2-c1$时可以合并
此时有$ \frac{m1}{t}k1≡\frac{c2-c1}{t} (mod \frac{m2}{t})$
由于$ k1$的系数$ \frac{m1}{t}$和模数$ \frac{m2}{t}$互质，通过扩展欧几里得求得逆元$ inv$
则化简得$ k1≡\frac{c2-c1}{t}*inv \ (mod \frac{m2}{t})$
将$ k1$代回第一个方程得$ x≡(\frac{c2-c1}{t}*inv \ mod \frac{m2}{t})*m1+c1(mod \frac{m1*m2}{t})$
这是一个同余方程的形式，如此不断合并所有方程即可
时间复杂度:$ O$(方程数*$ log$(值域))
code：
#include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define rt register int #define l putchar(‘\n‘) #define ll long long #define r read() using namespace std; inline ll read(){ register ll x = 0; char zf = 1; char ch; while (ch != ‘-‘ && !isdigit(ch)) ch = getchar(); if (ch == ‘-‘) zf = -1, ch = getchar(); while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - ‘0‘, ch = getchar(); return x * zf; } void write(ll y){if(y<0)putchar(‘-‘),y=-y;if(y>9)write(y/10);putchar(y%10+48);} void writeln(const ll y){write(y);putchar(‘\n‘);} int i,j,k,m,n,x,y,z,cnt,sum; struct calc{ ll c,m; }ans,now; ll gcd(ll x,ll y){return !y?x:gcd(y,x%y);} void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ if(!b){x=1;y=0;return;} exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x; } ll inv(ll A,ll p){ ll x,y; exgcd(A,p,x,y); return (x<=0)?(x+p):x; } calc operator &=(calc &x,calc y){ const ll t=gcd(x.m,y.m); if(abs(y.c-x.c)%t){cout<<-1;exit(0);} x.c=(y.c-x.c)/t*inv(x.m/t,y.m/t)%y.m*x.m+x.c; x.m=x.m/t*y.m;x.c=(x.c%x.m+x.m)%x.m; } int main(){ n=read(); ans.m=read();ans.c=read(); for(rt i=1;i<n;i++){ now.m=read();now.c=read(); ans&=now; } while(ans.c<0)ans.c+=ans.m; cout<<ans.c; return 0; }
标签：pre 朴素 def for exit define mil crt getchar
原文地址：https://www.cnblogs.com/DreamlessDreams/p/9358628.html
