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扩展Lucas解决的还是一个很Simple的问题：
求：$C_{n}^{m} \; mod \; p$。
其中$n,m$都会比较大，而$p$不是很大，而且不一定是质数。
扩展Lucas可以说和Lucas本身并没有什么关系，重要的是中国剩余定理。扩展Lucas这个算法中教会我们的除了算组合数，还有在模数不是质数的时候，往往可以用$CRT$来合并答案。
将原模数质因数分解：$P = \prod_{i = 1}^{m} p_{i}^{k_{i}}$。
列出$m$个同余方程，第$i$个形如：$C_{n}^{m} \; \equiv a_{i} (mod \; p_{i}^{k_{i}})$。
由于$m$个方程中模数互质，则$CRT$后就是原答案。
现在来对于某个方程求解$a_{i}$是多少，即$C_{n}^{m} \; mod \; p^{k}$的答案。
把组合数转化成阶乘：$\frac{n!}{m!(n - m)!}$，我们先求一个阶乘在$mod \; p^{k}$下的值，设这个函数为$Fac(n)$。
常规的对于式子下方的阶乘我们需要求逆元，而阶乘中存在$p$的倍数，这意味可能不与$p^{k}$互质。为了解决这个问题，我们将有关$p$单独考虑，于是一个算阶乘的函数将包括两部分：
接下来就没有什么问题了，用扩展欧几里得求逆元，有关$p$的幂次在除法时指数相减就行了。
#include <cstdio> typedef long long LL; int P; int Pow(int x, LL b, int p) { static int re; for (re = 1; b; b >>= 1, x = (LL) x * x % p) if (b & 1) re = (LL) re * x % p; return re; } int Ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y) { if (b == 0) return x = 1, y = 0, a; int gcd = Ex_gcd(b, a % b, y, x); y -= a / b * x; return gcd; } int Inv(int a, int p) { static int x, y; int gcd = Ex_gcd(a, p, x, y); if (gcd != 1) throw; return (x % p + p) % p; } int Fac(LL n, int p, int pk) { if (n == 0) return 1; int re = 1; for (int i = 1; i <= pk; ++i) if (i % p != 0) re = (LL) re * i % pk; re = Pow(re, n / pk, pk); for (int i = 1; i <= n % pk; ++i) if (i % p != 0) re = (LL) re * i % pk; return (LL) re * Fac(n / p, p, pk) % pk; } int Crt(LL n, LL m, int p, int pk) { int fn = Fac(n, p, pk), fm = Fac(m, p, pk), fnm = Fac(n - m, p, pk); int cp = 0; for (LL i = n; i; i /= p) cp += i / p; for (LL i = m; i; i /= p) cp -= i / p; for (LL i = n - m; i; i /= p) cp -= i / p; int a = (LL) fn * Inv(fm, pk) % pk * Inv(fnm, pk) % pk * Pow(p, cp, pk) % pk; return (LL) a * (P / pk) % P * Inv(P / pk, pk) % P; } int Lucas(LL n, LL m, int p) { int re = 0, x = p; for (int i = 2; i <= p; ++i) { if (x % i != 0) continue; int pk = 1; while (x % i == 0) pk *= i, x /= i; re = (re + Crt(n, m, i, pk)) % p; } return re; } int main() { LL n, m; scanf("%lld%lld%d", &n, &m, &P); printf("%d\n", Lucas(n, m, P)); return 0; }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Dance-Of-Faith/p/9360083.html
