[总结]一些文化课攒的 $\text{idea}$

标签：its   要求   line   n+2   mes   注意   一个   class   拉格朗日插值   

1. 设数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=2,a_2=6\) ，且 \(a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=2\) ，给定 \(m\in\mathbb{Z}\) ，求 \(\left\lfloor\sum\limits_{i=1}^m\frac{m}{a_i}\right\rfloor\) ，用 \(m\) 表示。
   • 不妨记多项式 \(f(n)=a_n\) ，注意到 \(a_{n+2}-a_{n+1}=2+a_{n+1}-a_n\) ，容易发现，我们只需将多项式 \(f(n)\) 差分 \(3\) 次便全为 \(0\) 。显然 \(f(n)\) 是一个 \(2\) 次多项式。
   • 可以求出 \(a_1=2,a_2=6,a_3=12\) ，用拉格朗日插值求出 \(f(n)=n(n+1)\) 。
   • 那么要求的式子就是 \(\left\lfloor\sum\limits_{i=1}^m\frac{m}{i(i+1)}\right\rfloor\) 。
   • 裂项可得 \(\left\lfloor m\times\frac{m}{m+1}\right\rfloor=m-1\) 。

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原文地址：https://www.cnblogs.com/NaVi-Awson/p/9364488.html