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题目名字有点搓，做题时没做出来，学长他们做出了，发现跟网上题解的思路没太大区别，网上所有题解的分析也都转自同一个地方，看样子这道题目不是那么好想的，没办法按照解析画了半天，计算器按了半天，理解了，自己敲出来了，觉得值得留念，打算再刷几道这样的
转自：http://blog.csdn.net/kksleric/article/details/8096914
定义：对于正整数n的一个算术函数 f(n)，若f(1)=1，且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。若对于某积性函数 f(n) ，就算a, b不互质，也有f(ab)=f(a)f(b)，则称它为完全积性的
性质：积性函数的值完全由质数的幂决定
常见积性函数：
φ(n) －欧拉函数，计算与n互质的正整数之数目
μ(n) －莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目
gcd(n,k) －最大公因子，当k固定的情况
d(n) －n的正因子数目
σ(n) －n的所有正因子之和
σk(n) － 因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。
Idk(n) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n^k （完全积性）
λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目
γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目
hdu 2879 HeHe
题意：In the equation X^2≡X(mod N) where x∈[0,N-1], we define He[N] as the number of solutions.
And furthermore, define HeHe[N]=He[1]*……*He[N]
Now here is the problem, write a program, output HeHe[N] modulo M for a given pair N, M.
证明转自http://www.fengshuxin.com/number_theory_hdu_2879.html
1.证明p是素数时He[p]=2.
x^2=x(mod p)—->p|x(x-1).因为x<p所以p不整除x也不整除x-1.所以成立的情况下是x=1或者x=0.
He[p^k]=2,证明类似上面的
2.证明对于不同的两个素数p和q,He[p*q]=4=He[p]*He[q];
首先x=0和x=1是肯定成立的,
现在由x^2=x(mod p*q)
—>p*q|x(x-1)
假设x=k*p[k<q]
——>p*q|k*p(k*p-1)
——->q|k(k*p-1)
——->q|(k*p-1) 因为k<q q是素数 所以gcd(k,q)=1
——->k*p+t*q=1
这里就变成了这个方程的解,由扩展欧几里得知,这个方程有解,但是k在[0,q-1]之内的解就一个,所以这里多一个解,同理设x=k*p又有一个解,所以x^2=x(mod p*q)有4个解(x=0 ,x=1 ,x=k*p, x=k*q)
—->He[p*q]=4=He[p]*He[q];
那么He[p1^r1*p2^r2*……*pk^rk]=2^k然后可以进一步算出HeHe只需要算n以内每个素数的倍数的个数.
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<list>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<memory.h>
#include<set>
#include<cctype>
#define ll long long
#define LL __int64
#define eps 1e-8
#define inf 0xfffffff
//const ll INF = 1ll<<61;
using namespace std;
//vector<pair<int,int> > G;
//typedef pair<int,int > P;
//vector<pair<int,int> > ::iterator iter;
//
//map<ll,int >mp;
//map<ll,int >::iterator p;
const int N = 10000000 + 5;
bool isprime[N];
int prime[N];
void clear() {
memset(isprime,false,sizeof(isprime));
memset(prime,0,sizeof(prime));
}
void init()
{
prime[0] = prime[1] = 1;
for(int i=2;i<N;i++) {
if(!prime[i])
for(int j=i;j<N;j+=i)
prime[j]++;//j为某个素数倍数的个数
}
prime[1] = 0;
for(int i=2;i<N;i++)
prime[i] += prime[i - 1];//n以内的每个素数，它的倍数也在n以内的个数之和
}
LL quick(LL a,LL b,LL m) {
LL ans = (LL)1;
while(b) {
if(b&1) {
ans =(ans * a)%m;
b--;
}
b >>= 1;
a = a * a%m;
}
return ans;
}
int main() {
clear();
init();
int k = 1;
LL n,m;
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--) {
scanf("%I64d %I64d",&n,&m);
LL ans = quick((LL)2,prime[n],m);
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}
HDU2879 HeHe 数论积性函数,布布扣,bubuko.com
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原文地址：http://blog.csdn.net/yitiaodacaidog/article/details/25649031
