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拓展欧几里得

扩展欧几里得算法介绍:

前置知识：欧几里得算法（其实就是辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。）

欧几里得算法：

在开始之前，我们先说明几个定理：

gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

公式表述及证明

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

代码：

根据上述公式，我们可以用递归来实现GCD函数（边界条件就是a，b的最大公约数是b本身的时候，也就是a%b==0的时候），代码如下：

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

扩展欧几里得算法：

扩展欧几里德算法是欧几里得算法的扩展，是用来在已知a, b的情况下求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

求解 x，y的方法及证明 （设 a>b）

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，a>b>0 时，设 ax1+ by1= gcd(a,b);

bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;

即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;

说明： a-[a/b]*b即为mod运算。[a/b]代表取小于a/b的最大整数。

也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

递归边界：gcd（a,0）=1*a-0*0=a。

代码实现一：

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return r;
}

代码实现二（推荐）：

int exGcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b) { d=a;x=1;y=0; }
    else { gcd(b,a%b,d,y,x); y-= x*(a/b); }
}

扩展欧几里得算法的应用：

应用一：求解乘法逆元（A和MOD互素的时候才存在，否则不存在逆元）

首先同余模定理如下：

(a+b)%c=(a%c+b%c)%c;

(a*b)%c=(a%c*b%c)%c;

也就是说对于取模的加减法，和乘法我们都可以运用同余模定理来进行计算，那么，对于除法我们应该怎么办呢？首先想到的就是把除法转换成乘法，然后就可以运用定理了。怎么转换呢，在普通乘法中，我们知道，除以一个数就等于乘上一个数的倒数，其实这个倒数就是我们所谓的逆元。A*（A的逆元）=单位元。在普通的乘法中 A的逆元就是它的倒数。 那么，在模n乘法中，我们应该怎么求逆元呢？我们设A的逆元为X，那么我们就可以得到（A*X）%MOD=1（模n乘法的单位元也是1）。对这个式子进行变形 ，就可以得到：

(A*X)%MOD=1；那么肯定存在k使得

A*X=k*MOD+1；

移项可得：A*X-k*MOD=1;

所以，当A和MOD互素时，就可以写成

A*X-k*MOD=gcd(A,MOD)；

如果把A看做a，MOD看做b，X看做x，-k看做y的话，则上式可化为：

ax+by=gcd(a,b)；

这样就可以用扩展欧几里得算法求出来x了，也就是我们要找的逆元。

应用二：求解ax=c(mod b)（也就是ax+by=c（同上逆元的变化方式））的x的最小整数解

ax=c(mod b)可以转化为ax+by=c。（变化的方式同求逆元的时候的变化。）

我们可以用扩展欧几里得算法得出ax+by=gcd(a,b) 的一组解（x1,y1），那么其他解呢？任取另一组解（x2,y2）,则ax1+by1=ax2+by2（因为它们都等于gcd(a,b) ），变形得a(x1-x2)=b(y2-y1)。假设gcd(a,b)=g，方程左右两边同时除以g（如果g=0，说明a或b等于0，可以特殊判断），得a‘(x1-x2)=b‘(y2-y1)，其中a‘=a/g，b‘=b/g。注意，此时a‘和b‘互素（想想分数的化简），则因此x1-x2一定是b‘的整数倍（因为a‘中不包含b‘，所以x1-x2一定包含b‘）。设它为kb‘，计算得y2-y1=ka‘。注意，上述的推导过程并没有用到“ax+by的右边是什么”，因此得出以下结论：

设a,b,c为任意整数，若方程ax+by=c的一组解是（x0,y0），则它的任意整数解都可以写成（x0+kb‘,y0-ka‘），其中a‘=a/gcd(a,b)，b‘=b/gcd(a,b)，k取任意整数。

这样我们就可以求出来最小的整数解了。（先用扩展欧几里得算法求出一组解，然后进行变换）。

具体实现方式看代码的注释：

int cal(int a,int b,int c)
{
    int x,y;
    int gcd=(a,b,x,y);
    if(c%gcd!=0)
        return -1;//代表无解 
    //  ax0+by0=gcd(a,b)                                方程一 
    //同时乘以c/gcd(a,b)得   
    // (a*c/gcd(a,b))*x0+(b*c/gcd(a,b))*y0=c;
    // 令 x1=c/gcd(a,b)*x0  y1=c/gcd(a,b)*y0;
    // 则可得 ax1+by1=c                                 方程二 
    // 这时得出方程的一个解   x1=x0*c/gcd(a,b)     y1=y0*c/gcd(a,b)  
    x*=c/gcd; //将 方程一的一个特解转化成方程2的一个特解 
    //套用上文的公式可得对方程二
    // b‘=b/gcd(a,b);
    b/=gcd;   
    if(b<0)//处理小于0的特殊情况 
        b=-b;
    //对特解x  +- kb‘  找到最小整数解
    //设x=kb‘+r
    //那么我们想要求的整数解就是r
    //直接取模运算即可 
    int ans=x%b; 
    //把负数的r转化成正数的 
    if(ans<=0)
        ans+=b;
    return ans;
}

应用三：直线上的整数点

在平面坐标系下，ax+by=c是一条直线方程。知道一个点，我们就可以用应用二中的方法去求直线上的所有整数点。

END~

（转）拓展欧几里得讲解

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