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LCS(详解)

时间:2018-07-29 15:11:31      阅读:159      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:情况   mes   定位   memset   包含   sequence   long   出现   nbsp   

一,问题描述

给定两个字符串,求解这两个字符串的最长公共子序列(Longest Common Sequence)。比如字符串1:BDCABA;字符串2:ABCBDAB

则这两个字符串的最长公共子序列长度为4,最长公共子序列是:BCBA

 

二,算法求解

这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题,一般有两个特征:①最优子结构;②重叠子问题

①最优子结构

设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列,将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为,我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS,首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。

1)如果 xn=ym,即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同,这说明该元素一定位于公共子序列中。因此,现在只需要找:LCS(Xn-1,Ym-1)

LCS(Xn-1,Ym-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题?因为它的规模比原问题小。(小一个元素也是小嘛....)

为什么是最优的子问题?因为我们要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的!!!换句话说,就是最优的那个。(这里的最优就是最长的意思)

2)如果xn != ym,这下要麻烦一点,因为它产生了两个子问题:LCS(Xn-1,Ym) 和 LCS(Xn,Ym-1)

因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛,那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。(都不相等了,怎么公共嘛)。

LCS(Xn-1,Ym)表示:最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(Xn,Ym-1)表示:最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面两个子问题,得到的公共子序列谁最长,那谁就是 LCS(X,Y)。用数学表示就是:

LCS=max{LCS(Xn-1,Ym),LCS(Xn,Ym-1)}

由于条件 1)  和  2)  考虑到了所有可能的情况。因此,我们成功地把原问题 转化 成了 三个规模更小的子问题。

 

②重叠子问题

重叠子问题是啥?就是说原问题 转化 成子问题后,  子问题中有相同的问题。咦?我怎么没有发现上面的三个子问题中有相同的啊????

OK,来看看,原问题是:LCS(X,Y)。子问题有 ?LCS(Xn-1,Ym-1)    ?LCS(Xn-1,Ym)    ?LCS(Xn,Ym-1)

初一看,这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的,因为它们只重叠了一大部分。举例:

第二个子问题:LCS(Xn-1,Ym) 就包含了:问题?LCS(Xn-1,Ym-1),为什么?

因为,当Xn-1 和 Ym 的最后一个元素不相同时,我们又需要将LCS(Xn-1,Ym)进行分解:分解成:LCS(Xn-1,Ym-1) 和 LCS(Xn-2,Ym)

也就是说:在子问题的继续分解中,有些问题是重叠的。

 

由于像LCS这样的问题,它具有重叠子问题的性质,因此:用递归来求解就太不划算了。因为采用递归,它重复地求解了子问题啊。而且注意哦,所有子问题加起来的个数 可是指数级的哦。。。。

这篇文章中就演示了一个递归求解重叠子问题的示例。

那么问题来了,你说用递归求解,有指数级个子问题,故时间复杂度是指数级。这指数级个子问题,难道用了动态规划,就变成多项式时间了??

呵呵哒。。。。

关键是采用动态规划时,并不需要去一 一 计算那些重叠了的子问题。或者说:用了动态规划之后,有些子问题 是通过 “查表“ 直接得到的,而不是重新又计算一遍得到的。废话少说:举个例子吧!比如求Fib数列。关于Fib数列,可参考:

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求fib(5),分解成了两个子问题:fib(4) 和 fib(3),求解fib(4) 和 fib(3)时,又分解了一系列的小问题....

从图中可以看出:根的左右子树:fib(4) 和 fib(3)下,是有很多重叠的!!!比如,对于 fib(2),它就一共出现了三次。如果用递归来求解,fib(2)就会被计算三次,而用DP(Dynamic Programming)动态规划,则fib(2)只会计算一次,其他两次则是通过”查表“直接求得。而且,更关键的是:查找求得该问题的解之后,就不需要再继续去分解该问题了。而对于递归,是不断地将问题分解,直到分解为 基准问题(fib(1) 或者 fib(0))

 

说了这么多,还是要写下最长公共子序列的递归式才完整。借用网友的一张图吧:)

 

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c[i,j]表示:(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最长公共子序列的长度。(是长度哦,就是一个整数嘛)。公式的具体解释可参考《算法导论》动态规划章节

 
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 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<stack>
 5 #include<queue>
 6 #include<iostream>
 7 #include<map>
 8 #include<vector>
 9 #define Inf 0x3f3f3f3f
10 #define PI acos(-1.0)
11 using namespace std;
12 int str[1234];
13 int ans[1244];
14 int dp[1234][1234];
15 int len=1;
16 int main()
17 {
18     char str1[1234],str2[1234];
19     int len1,len2;
20     while(scanf("%s %s",&str1,&str2)!=-1){
21     len1=strlen(str1);
22     for(int i=len1;i>=1;i--)
23     {
24         str1[i]=str1[i-1];
25     }
26     len2=strlen(str2);
27     for(int i=len2;i>=1;i--)
28     {
29         str2[i]=str2[i-1];
30     }
31     memset(dp,0,sizeof(dp));
32     for(int i=1; i<=len1; i++)
33         for(int j=1; j<=len2; j++)
34         {
35              if(str1[i]==str2[j])
36              {
37                  dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
38              }
39              else{
40 
41                 dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
42              }
43         }
44         printf("%d\n",dp[len1][len2]);
45     }
46     return 0;
47 }
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标签:情况   mes   定位   memset   包含   sequence   long   出现   nbsp   

原文地址:https://www.cnblogs.com/moomcake/p/9385170.html

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