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最近天气有点热，三伏天得了空调病，最后发现是颈椎引起的问题，期间还拔了颗顽固的智齿，也算是一波三折了。
这次介绍Item(User)相似度的计算方法，其广泛运用于基于邻域的协同过滤算法的推荐系统。简而言之，基于邻域，就是基于相邻的元素进行推荐，而相邻元素的得到过程就是相似度的计算过程。
对于空间上的点来说：传统机器学习模型中KNN的距离度量方法（如欧式距离等），距离越近的点我们把他们归为一类，也可以说他们更相似。
对于空间上的向量来说：方向更相同，向量越相似，这就是cosine度量方法的原理。
问题来了，我们得到不同物品/用户的相似度有什么用呢?
??回答：从ItemCF的角度来说，在得到物品之间的相似度\(w_{ij}\)（物品 i 和 j ）之后，通过如下公式可以计算用户u对一个物品 j 的兴趣：
\(p_{uj}=\sum\limits_{i \in N(u)\cap S(j,k)}w_{ji}r_{ui}\tag{0}\)
这里N(u)是用户喜欢的物品的集合，S(j, k)是物品j最相似的K个物品的集合，\(r_{ui}\)是用户u对物品i的兴趣程度。
这是一个在《推荐系统实践》中看到的公式，这里我们研究两个用户users的兴趣相似度：给定用户u和用户v，令N(u)，N(v)分别表示用户u，v曾经有过正反馈的物品集合。那么用户u和v的相似度为：
\(\omega_{uv}=\frac{|N(u)\cap N(v)|}{|N(u)\cup N(v)|} \tag{1}\)
上述公式简单表述就是：\(\frac{两个用户都感兴趣物品数目}{两个用户中只要有一个用户感兴趣的物品数目}\)
与上述公式相同，只是在分母中加了个根号，这里我们研究物品items的相似度：
\(\omega_{ij}=\frac{|N(i)\cap N(j)|}{\sqrt{|N(i)\cup N(j)|}}\tag{2}\)
这里N(i)和N(j)分别表示喜欢物品i 和物品j 的人数。
到这里为止，我们研究的对象只有喜欢不喜欢两种度量，如果对象换做是评分，如电影评分（分数ratings有：1，2，3，4，5??），那么相应的cosine公式变换为：
\(\text{cosine_sim}(i, j) = \frac{\sum\limits_{u \in U_{ij}} r_{ui} \cdot r_{uj}}{\sqrt{\sum\limits_{u \in U_{ij}} r_{ui}^2} \cdot\sqrt{\sum\limits_{u \in U_{ij}} r_{uj}^2}}\tag{3}\)
其中\(r_{ui}\)和\(r_{uj}\)分别表示用户 u 对物品 i 和 j 的评分，\(U_{ij}\)代表同时喜欢物品 i 和 j 的用户集合。
以下为surprise库的cosine函数源码和分析：
def cosine(n_x, yr, min_support):
### 此处省略了一些东西
for y, y_ratings in iteritems(yr):
### xi和xj分别表示物品i和j
### 以下为生成(3)式中的分母和分子
for xi, ri in y_ratings:
for xj, rj in y_ratings:
freq[xi, xj] += 1
prods[xi, xj] += ri * rj
sqi[xi, xj] += ri**2
sqj[xi, xj] += rj**2
### 以下为使用（3）式进行计算
for xi in range(n_x):
sim[xi, xi] = 1
for xj in range(xi + 1, n_x):
if freq[xi, xj] < min_sprt:
sim[xi, xj] = 0
else:
denum = np.sqrt(sqi[xi, xj] * sqj[xi, xj])
sim[xi, xj] = prods[xi, xj] / denum
sim[xj, xi] = sim[xi, xj]
return sim
### 返回的结果sim是一个对称矩阵，行列的index表示对应每个物品item，矩阵元素表示行列对应物品的相似度如果在(3)式的基础上进行去均值的话，那么就得到了(4)式：
\(\text{pearson_sim}(i, j) = \frac{ \sum\limits_{u \in U_{ij}}(r_{ui} - \mu_i) \dot (r_{uj} - \mu_{j})} {\sqrt{\sum\limits_{u\in U_{ij}} (r_{ui} - \mu_i)^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{u \in U_{ij}} (r_{uj} - \mu_{j})^2} }\tag{4}\)
注意一点，这里的均值计算只考虑到同时喜欢物品i和j的用户集合\(U_{ij}\)，对于其他不涉及物品i和j的用户，不要加到均值计算的过程中。
通常来说，不同用户??评分标准的差别要比不同物品评分标准差别要高很多（The differences in the rating scales of individual users are often more pronounced than the differences in ratings given to individual items），因为不同人的评分标准不一样，对于某人来说，他评分的所有物品分数都偏低。但是对于一个物品来说，不同物品之间所依据的评分标准都是大众评价的结果，这是一个被不同标准泛化了的标准。
所以，当我们计算物品相似度\(\text{pearson_sim}(i, j)\)时，减去的均值应该针对于用户，而不是物品。所以，PC可以优化为AC(Adjusted):
\(\text{ adjusted_sim}(i, j) = \frac{ \sum\limits_{u \in U_{ij}}(r_{ui} - \mu_u) \dot (r_{uj} - \mu_{u})} {\sqrt{\sum\limits_{u\in U_{ij}} (r_{ui} - \mu_u)^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{u \in U_{ij}} (r_{uj} - \mu_{u})^2} }\tag{5}\)
仍然考虑物品i和j的相似度，MSD考虑的角度为同时喜欢物品i和j的用户对于这两个物品的评分差距程度：
\(\text{msd}(i, j) = \frac{1}{|U_{ij}|} \cdot \sum\limits_{u \in U_{ij}} (r_{ui} - r_{uj})^2\tag{6}\)
(6)式表示均方差，值越小，物品i和j相似度越大。为了与之前的相似度表示一致（值越大，物品相似度越大），定义相似度为：
$ \text{msd_sim}(i,j) = \frac{1}{\text{msd}(i,j) + 1}\tag{7}$
对于推荐系统来说，考虑到用户的数量，评分数据是相当稀疏的。上述方法得到的所有相似度权重通常只使用了很小一部分的评分。举个例子，假设两部很小众的电影正好同时只被两个人喜欢，运用上面的方法，我们得到这两部影片相似度很高。然而实际情况可能并不是这样，这可能我们取的样本太少的缘故。所以，有这样一个思想很重要，即：当计算只用到很小范围的评分时，减小这个计算的相似度的权重
Reduce the magnitude of a similarity weight when this weight is computed using only a few ratings
我们可以给计算出来的相似度一个惩罚(penalized)，所用的评分集合\(U_{ij}\)越小，惩罚越大：
\(w_{ij}=\frac{min\{|U_{ij}|, \gamma\}}{\gamma} \times w_{ij}\tag{8}\)
当评分的用户集合大到一定程度时，惩罚消失。
活跃度跟高的用户通常会评分很多物品，覆盖范围也更广，也就是方差(var)越大，他们的评分多，但是贡献度却要少。
为什么呢？假如一个人非常爱购物，在淘宝上疯狂买各种各样的东西，那么他的一个购买跟物品种类的相关性就很低。同样的，对于物品来说，如电影《教父》，被很多人喜欢，那么根据它也很难找到与他相似的电影。简单来说：活跃用户对物品相似度的贡献应该小于不活跃用户。
那么，我们引入一个参数：
\(\lambda_{u} = log\frac{|I|}{|I_{u}|}\tag{9}\)
这个参数\(\lambda_{u}\)定义为用户u的活跃程度的倒数，\(I\)为所有物品，\(I_{u}\)为用户u有操作的物品，两者之商越大，代表活跃程度越低，即权重越高。
将该参数运用到Pearson中，即：
\(\text{pearson_sim}(i, j) = \frac{ \sum\limits_{u \in U_{ij}}\lambda_{u} (r_{ui} - \mu_i) \dot (r_{uj} - \mu_{j})} {\sqrt{\sum\limits_{u\in U_{ij}} \lambda_{u} (r_{ui} - \mu_i)^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{u \in U_{ij}} \lambda_{u} (r_{uj} - \mu_{j})^2} }\tag{10}\)
一般化，我们可以把Pearson-baseline correlation定义如下：
\(\begin{align}\begin{aligned}\text{pearson_baseline_shrunk_sim}(u, v) = \frac{|I_{uv}| - 1} {|I_{uv}| - 1 + \text{shrinkage}} \cdot \omega_{uv}\\\text{pearson_baseline_shrunk_sim}(i, j)= \frac{|U_{ij}| - 1} {|U_{ij}| - 1 + \text{shrinkage}} \cdot \omega_{ij}\end{aligned}\end{align}\)
这也是surprise中pearson_baseline()的计算方法。??
下面使用surprise库对上面介绍的几种相似度度量进行比较：
import pandas as pd
import numpy as np
from surprise.prediction_algorithms.knns import KNNBasic
from surprise import Dataset, Reader
from surprise.model_selection import train_test_split1、读取数据，预处理
为了方便，这里只使用ml-latest_small的movielens数据集进行操作
reader = Reader(rating_scale=(1, 5), line_format='user item rating timestamp')
df_data = pd.read_csv('./data/ml-latest-small/ratings.csv', usecols=['userId','movieId','rating'])
data = Dataset.load_from_df(df_data, reader)
trainset, testset = train_test_split(data, test_size=0.2) 2、建立模型
建立KNN基于邻域的模型，其预测函数为(0)式的一个优化，即：
\(\hat{r}_{ui} = \frac{\sum\limits_{j \in N^k_u(i)} \text{sim}(i, j) \cdot r_{uj}}{\sum\limits_{j \in N^k_u(j)} \text{sim}(i, j)}\tag{11}\)
我们分别使用cosine, msd, pearson以及pearson-baseline作为相似度度量进行比较，分别得到其precision和recall（这里使用Top5作为metric）
PS：precision_recall_at_k()函数见这里
sim = ['cosine', 'msd', 'pearson','pearson_baseline']
for s in sim:
params = {'name': s, 'user_based': False}
knn = KNNBasic(k=40, min_k=1, sim_options=params)
knn.fit(trainset)
predictions = knn.test(testset)
precisions, recalls = precision_recall_at_k(predictions, k=5, threshold=3.5)
print('Precision:', sum(prec for prec in precisions.values()) / len(precisions))
print('Recall:', sum(rec for rec in recalls.values()) / len(recalls))
print('')| Precision | Recall | |
|---|---|---|
| cosine | 0.765 | 0.343 |
| msd | 0.807 | 0.367 |
| pearson | 0.729 | 0.346 |
| pearson-base | 0.776 | 0.391 |
由于数据量很小，上述的评测指数仅作参考
Reference:
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原文地址：https://www.cnblogs.com/bjwu/p/9448043.html
