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题面

传送门

思路

最小割

我们首先忽略掉那个奇♂怪的限制，就有一个比较显然的最小割模型：

建立源点$S$和汇点$T$

对于每个元素$i$建立一个点$i$，连边$<S,i,w[i]>$和$<i,T,b[i]>$

这样，割掉$<S,i>$边就表示选白色，割掉$<i,T>$边就表示选黑色，那么答案就是$\sum_{i=1}^nb[i]+w[i] - mincut$

但是现在有一个奇♂怪的限制出来了

奇♂怪的限制

这个限制，是当$i$点黑色，$j<i$点白色时出现的

那么我们考虑把这个限制对答案的影响，也用最小割的方式表现出来

我们发现，如果对于某一个点$i$，它对应的割边（就是在上面那种方法里面）是$<i,T>$，也就是它取白色的话，这个限制不会被触发

那么我们就考虑这个点的割边是$<S,i>$的情况，此时我们发现，如果我们想把这个$p[i]$也变成最小割的一部分的话，我们就要对于所有可能触发的$j$，构成一条这样的链：

$<S,i>-<i,j>-<j,T>$

但是这个中间这条，显然不能直接在$i,j$中间连边，因为这样无法体现出链的特性

我们考虑这样的一个方法，来分开黑白割的情况

我们对于每个点，新建节点$ii$，然后对于每个$ii$，连边$<ii,i,p[i]>$

对于$i$所有能够访问到的点，连边$<i,jj,inf>$，$inf$表示不可割

这样跑最小割，还是用所有的$b,w$的和来减，就是答案了

建图优化

显然这个东西直接连边的话，$n^2$的会炸

所以我们用一个主席树来优化一下建图

用所有的$i$连向对应的主席树链上的所有点，主席树上的点就横向连边（旧的往新的连），然后每个点从它覆盖的所有区间连过来

开的主席树的数组下标意义就是$a$的大小，这样方便取区间

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
    int re=0,flag=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){
        if(ch=='-') flag=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return re*flag;
}
int n,first[200010],cnte=-1,dep[200010],cur[200010];
struct edge{
    int to,next;ll w;
}a[1500010];
void add(int u,int v,ll w){
    a[++cnte]=(edge){v,first[u],w};first[u]=cnte;
    a[++cnte]=(edge){u,first[v],0};first[v]=cnte; 
}
bool bfs(int s,int t){
    int i,u,v,q[200010],head=0,tail=1;
    for(i=s;i<=t;i++) dep[i]=-1,cur[i]=first[i];
    dep[s]=0;q[0]=s;
    while(head<tail){
        u=q[head++];
        for(i=first[u];~i;i=a[i].next){
            v=a[i].to;if(~dep[v]||!a[i].w) continue;
            dep[v]=dep[u]+1;q[tail++]=v;
        }
    }
    return ~dep[t];
}
int dfs(int u,int t,ll lim){
    if(u==t||!lim) return lim;
    int i,v,f,flow=0;
    for(i=cur[u];~i;i=a[i].next){
        v=a[i].to;cur[u]=i;
        if(dep[v]==dep[u]+1&&(f=dfs(v,t,min(a[i].w,lim)))){
            flow+=f;lim-=f;
            a[i].w-=f;a[i^1].w+=f;
            if(!lim) return flow;
        }
    }
    if(lim) dep[u]=-1;
    return flow;
}
ll dinic(int s,int t){
    ll re=0;
    while(bfs(s,t)) re+=dfs(s,t,1e12);
    return re;
}
struct chairmantree{
    int ch[1000010][2],cnt,root[5010];
    int insert(int l,int r,int pos,int pre,int u){
        int cur=++cnt;
        ch[cur][0]=ch[pre][0];ch[cur][1]=ch[pre][1];
        add(u,cur,1e12);
        if(l==r){
            if(pre) add(pre,cur,1e12);
            return cur;
        } 
        int mid=(l+r)>>1;
        if(mid>=pos){
            ch[cur][0]=insert(l,mid,pos,ch[pre][0],u);
            if(pre) add(pre,cur,1e12);
        }
        else{
            ch[cur][1]=insert(mid+1,r,pos,ch[pre][1],u);
            if(pre) add(pre,cur,1e12); 
        }
        return cur;
    }
    void check(int l,int r,int ql,int qr,int cur,int u){
        if(!cur) return;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(l>=ql&&r<=qr){
            add(cur,u,1e12);
            return;
        }
        if(mid>=ql) check(l,mid,ql,qr,ch[cur][0],u);
        if(mid<qr) check(mid+1,r,ql,qr,ch[cur][1],u);  
    }
}T;
int main(){
    memset(first,-1,sizeof(first));
    n=read();int i,val,b,w,l,r,p;ll sum=0;
    int s=0,t=200000;T.cnt=n<<1;
    for(i=1;i<=n;i++){
        val=read();b=read();w=read();l=read();r=read();p=read();
        sum+=(ll)b+w;
        add(s,i,w);add(i,t,b);add(i+n,i,p);
        T.root[i]=T.insert(0,1e9,val,T.root[i-1],i);
        T.check(0,1e9,l,r,T.root[i-1],i+n);
    }
    printf("%lld\n",sum-dinic(s,t));
}

[bzoj3218] a+b problem [最小割+数据结构优化建图]

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原文地址：https://www.cnblogs.com/dedicatus545/p/9451944.html