[模板]乘法逆元

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本博客所有代码基于题目 luogu_P3811

逆元：

　　一般用于求 (a/b) mod p 

定义：

　　若 a*x ≡ 1 (mod p) ，且 a 与 p 互质，那么我们就能定义: x 为 a 的逆元，记为 a^-1 ，所以我们也可以称 x 为 a 的倒数(mod p意义下)。

　　所以对于 (a/b) mod p ，我们就可以求出 b 在 mod p 意义下的逆元，然后乘上 a ，再 mod p ，就是这个乘法逆元的值了。

求法：

First：费马小定理

定理内容：如果 a , p 互质，那么 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

　　结合逆元方程 a*x ≡ 1 (mod p) ,得到 a*x ≡ a^(p-1)  (mod p)
　　根据同余的性质,若p为质数,得到 x ≡ a^(p-2)  (mod p)
　　即 x = a^(p-2) mod p, 快速幂 求解即可

Second：欧拉定理

定理内容：如果a,p互质，那么a^φ(p) ≡ 1 (mod p)，当 p 为质数时，φ(p)=p-1。

　　同理，结合同余方程，得 x=a^(p-2) mod p,快速幂求解即可

　　（这只是两种不同的证明，代码是相同的）

 1 #include<cstdio> 
 2 #define ll long long
 3 using namespace std;
 4 int n,p;
 5 inline ll ksm(ll a,ll b){
 6     ll ans=1;
 7     a%=p;
 8     while(b){
 9         if(b&1) ans=ans*a%p;
10         a=a*a%p;
11         b>>=1;
12     }
13     return ans%p;
14 }
15 void write(ll x){
16     if(x<0) putchar(‘-‘),x=-x;
17     if(x>9) write(x/10);putchar(x%10^48);
18 }
19 int main(){
20     scanf("%d%d",&n,&p);
21     for(int i=1;i<=n;i++)
22         write(ksm(i,p-2)),putchar(‘\n‘);
23     return 0;
24 }

TLE_83分

Third:解不定方程 

解同余方程 ax≡1 (mod p) 等价于 解不定方程 ax+py=1
Exgcd求解即可（不会 请左转 Exgcd ）
由于 p 是质数，那么gcd(a,p)=1;
即求解不定方程 ax+by=gcd(a,b);

 1 #include<cstdio>
 2 using namespace std;
 3 int x,y;
 4 void exgcd(int a,int b){
 5     if(!b){x=1,y=0;return ;}
 6     exgcd(b,a%b);
 7     int t=x;
 8     x=y,y=t-a/b*y;
 9 }
10 void write(int x){
11     if(x>9) write(x/10);
12     putchar(x%10^48);
13 }
14 int main(){
15     int n,p;
16     scanf("%d%d",&n,&p);
17     for(int i=1;i<=n;++i)
18         exgcd(i,p),write((x%p+p)%p),putchar(‘\n‘);
19     return 0;
20 }

AC_1240ms

Forth：线性递推

复杂度 O(n)
递推过程：
令 p=ki+r ; {k=[p/i] (下取整), r=p mod i } (i<p,k<p,r<i)
则有 ki+r≡0(mod p)  ①
①式左右同乘i^-1*r^-1 得：
k*r^-1+i^-1 ≡ 0 (mod p)
移项 得
i^-1 ≡ -k*r^-1 (mod p)
带入 k=[p/i] (下取整), r=p mod i;
i^-1 ≡ -[p/i]*(p mod i)^-1 (mod p) ②
由于 (p mod i) < i ,所以,在求出 i^-1 之前,我们早已求出 (p mod i)^-1；
因此用数组 inv[i] 记录i^-1 ( i 的逆元)
则 inv[i]=-p/i*inv[p%i]%p;

不要以为到这里就结束了
因为我们需要保证 i^-1>0
所以,我们在②式右边+p ( p mod p=0,答案不变)
即 inv[i]=p-p/i*inv[p%i]%p;
当然 inv[1]=1,inv[0]=tan90°(赋值为0);
而且 for循环 要从 2 开始，防止改变 inv[1] 的值;
至此,证毕。

 1 #include<cstdio>
 2 #define ll long long
 3 using namespace std;
 4 const int maxn=3e6+5;
 5 ll inv[maxn]={0,1};
 6 int main(){
 7     int n,p;
 8     scanf("%d%d",&n,&p);
 9     printf("1\n");
10     for(int i=2;i<=n;i++)
11         inv[i]=(ll)p-(p/i)*inv[p%i]%p,printf("%d\n",inv[i]);
12     return 0;
13 }

AC_664ms

参考文献：https://www.cnblogs.com/zjp-shadow/p/7773566.html

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原文地址：https://www.cnblogs.com/RisingGods/p/9484039.html