标签：codec 乘法逆元 target 代码 图片 ret log 限制 除法
gcd，欧几里得的智慧结晶，信息竞赛的重要算法，数论的...（编不下去了
讲exgcd之前，我们先普及一下同余的性质：
有了这三个式子，就不用怕在计算时溢出了。
下面我会用与
分别表示a与b的最大公约数与最小公倍数。
首先会来学扩欧的同学肯定都会欧几里得算法（即辗转相除法）了吧
而通过观察发现：，先除后乘防溢出。
所以与
的代码如下：
1 inline int gcd(int a,int b) 2 {return (b==0)?a:gcd(b,a%b);} 3 inline int lcm(int a,int b) 4 {return a/gcd(a,b)*b;
讲exgcd之前先引入一种方程——不定方程
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
————百度百科
就是形如的方程，其中a，b，c已知。
如果，那么方程无解。
方程可转化为，
其中，
，
接着就用到了exgcd。
我们知道gcd有一个性质
如果，一直循环下去，b将等于0，那么x将等于c/a，y=0。
1 inline void exgcd(int a,int b,int c) 2 { 3 if(!b) 4 {x=c/a;y=0;return;} 5 exgcd(b,a%b,c); 6 x=y; 7 y=(c-a*x)/b; 8 return; 9 }
这就求出了一组特解。
exgcd的模板我也在这摆出来
1 inline void exgcd(int a,int b) 2 { 3 if(!b) 4 {x=1;y=0;return;} 5 exgcd(b,a%b); 6 k=x;x=y; 7 y=k-a/b*y; 8 return; 9 }
这是求时用的，后面讲同余方程会讲。
我们假设x1，y1是我们求出的一组特解，那么
求的是关于x的解
转化一下，就成了，就可以直接套exgcd模板。
1.有解的充要条件
2.
下式减上式得
再用exgcd求出y1和y2，
3.关于通解
所有的x mod lcm(p1,p2)有唯一解，这样就可以通过特解，求通解了。
4.至于式子更多的同余方程组，就先联立两个，就可以得出新的方程
再联立下一个。
例如这道题P1082
这是一道裸的扩欧模板题，变形之后就是求。
套模板即可。
1 inline void exgcd(int a,int b) 2 { 3 if(b==0) 4 {x=1;y=0;return;} 5 exgcd(b,a%b); 6 k=x;x=y; 7 y=k-a/b*y; 8 return; 9 } 10 int main() 11 { 12 int n,m; 13 read(n),read(m); 14 exgcd(n,m); 15 printf("%d",(x+m)%m); 16 }
还有一道模板P1516
仔细观察，推一下后我们发现，这在就是在求的解。
进而可以推出
合并同类项后
把一些东西移到左边来后
把(x-y)，(n-m)各看成一个整体后，问题就成了解一个不定方程。
1 inline int exgcd(long long a,long long b) 2 { 3 if(b==0) 4 {x=1;y=0;return a;} 5 ans=exgcd(b,a%b); 6 k=x;x=y; 7 y=k-a/b*y; 8 return ans; 9 } 10 int main() 11 { 12 long long x1,y1,m,n,l; 13 read(x1),read(y1),read(m),read(n),read(l); 14 if(n-m<0)swap(x1,y1); 15 exgcd(std::abs(n-m),l); 16 if((x1-y1)%ans!=0) 17 printf("Impossible"); 18 else 19 printf("%lld",((x*((x1-y1)/ans))%(l/ans)+(l/ans))%(l/ans)); 20 }
还有一道也是模板P4777，涉及同余方程组求解，上面已详细的讲了，近期我也会发一篇中国剩余定理的博客
1 inline long long mul(long long a,long long b,long long mod) 2 { 3 long long res=0; 4 while(b>0) 5 { 6 if(b&1) res=(res+a)%mod; 7 a=(a+a)%mod; 8 b>>=1; 9 } 10 return res; 11 } 12 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) 13 { 14 if(!b) 15 {x=1;y=0;return a;} 16 long long gcd=exgcd(b,a%b,x,y); 17 k1=x;x=y; 18 y=k1-a/b*y; 19 return gcd; 20 } 21 int main() 22 { 23 io::begin(); 24 io::read(n); 25 for(register int i=1;i<=n;i++) 26 io::read(b1[i]),io::read(a1[i]); 27 long long x,y,k; 28 long long m=b1[1],ans=a1[1]; 29 for(int i=2;i<=n;i++) 30 { 31 long long a=m,b=b1[i],c=(a1[i]-ans%b+b)%b; 32 long long gcd=exgcd(a,b,x,y); 33 long long p=b/gcd; 34 x=mul(x,c/gcd,p); 35 ans+=x*m; 36 m*=p; 37 ans=(ans%m+m)%m; 38 } 39 printf("%lld",(ans%m+m)%m); 40 }
这是一种很重要的算法，至于逆元怎么跟扩欧扯上关系，大家可以点这里乘法逆元及两道模板题详解
这里就不多赘述了，大家可以用扩欧a一下P3811，P2613。
我要讲的讲完了，如果觉得讲的还好，请关注我的blog，谢谢
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原文地址：https://www.cnblogs.com/mashiro-/p/9526323.html
