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扩展欧几里得(exgcd)与同余详解

时间:2018-08-23 22:10:17      阅读:1446      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:codec   乘法逆元   target   代码   图片   ret   log   限制   除法   

exgcd入门以及同余基础

gcd,欧几里得的智慧结晶,信息竞赛的重要算法,数论的...(编不下去了

讲exgcd之前,我们先普及一下同余的性质:

  1. 技术分享图片
  2. 技术分享图片
  3. 技术分享图片
  4. 技术分享图片,那么技术分享图片
  5. 技术分享图片技术分享图片,且p1,p2互质,技术分享图片

 有了这三个式子,就不用怕在计算时溢出了。

下面我会用技术分享图片技术分享图片分别表示a与b的最大公约数与最小公倍数。

首先会来学扩欧的同学肯定都会欧几里得算法(即辗转相除法)了吧

而通过观察发现:技术分享图片,先除后乘防溢出。

所以技术分享图片技术分享图片的代码如下:

1 inline int gcd(int a,int b)
2 {return (b==0)?a:gcd(b,a%b);}
3 inline int lcm(int a,int b)
4 {return a/gcd(a,b)*b;

 


 

讲exgcd之前先引入一种方程——不定方程

 所谓不定方程,是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。

                                                                                         ————百度百科 

就是形如技术分享图片的方程,其中a,b,c已知。

1.判断是否有解

如果技术分享图片,那么方程无解。

2.转化

方程可转化为技术分享图片

其中技术分享图片技术分享图片技术分享图片

3.求一组特解

接着就用到了exgcd。

我们知道gcd有一个性质技术分享图片

如果,一直循环下去,b将等于0,那么x将等于c/a,y=0。

1 inline void exgcd(int a,int b,int c)
2 {
3     if(!b)
4     {x=c/a;y=0;return;}
5     exgcd(b,a%b,c);
6     x=y;
7     y=(c-a*x)/b;
8     return;
9 }

这就求出了一组特解。

exgcd的模板我也在这摆出来

1 inline void exgcd(int a,int b)
2 {
3     if(!b)
4     {x=1;y=0;return;}
5     exgcd(b,a%b);
6     k=x;x=y;
7     y=k-a/b*y;
8     return;
9 }

这是求技术分享图片时用的,后面讲同余方程会讲。

4.构造通解

我们假设x1,y1是我们求出的一组特解,那么

技术分享图片     技术分享图片

 


 

同余类问题

1.单个同余方程

求的是技术分享图片关于x的解

转化一下,就成了技术分享图片,就可以直接套exgcd模板。

2.同余方程组

技术分享图片

1.有解的充要条件技术分享图片

2.技术分享图片

下式减上式得技术分享图片

再用exgcd求出y1和y2,技术分享图片

3.关于通解

所有的x mod lcm(p1,p2)有唯一解,这样就可以通过特解,求通解了。

4.至于式子更多的同余方程组,就先联立两个,就可以得出新的方程技术分享图片

再联立下一个。

 


exgcd用处及题目讲解

1.求同余方程的解

例如这道题P1082

这是一道裸的扩欧模板题,变形之后就是求技术分享图片

套模板即可。

 1 inline void exgcd(int a,int b)
 2 {
 3     if(b==0)
 4     {x=1;y=0;return;}
 5     exgcd(b,a%b);
 6     k=x;x=y;
 7     y=k-a/b*y;
 8     return;
 9 }
10 int main()
11 {
12     int n,m;
13     read(n),read(m);
14     exgcd(n,m);
15     printf("%d",(x+m)%m);
16 }

还有一道模板P1516

仔细观察,推一下后我们发现,这在就是在求技术分享图片的解。

进而可以推出技术分享图片

合并同类项后技术分享图片

把一些东西移到左边来后技术分享图片

把(x-y),(n-m)各看成一个整体后,问题就成了解一个不定方程。

 1 inline int exgcd(long long a,long long b)
 2 {
 3     if(b==0)
 4     {x=1;y=0;return a;}
 5     ans=exgcd(b,a%b);
 6     k=x;x=y;
 7     y=k-a/b*y;
 8     return ans;
 9 }
10 int main()
11 {
12     long long x1,y1,m,n,l;
13     read(x1),read(y1),read(m),read(n),read(l);
14     if(n-m<0)swap(x1,y1);
15     exgcd(std::abs(n-m),l);
16     if((x1-y1)%ans!=0)
17     printf("Impossible");
18     else
19     printf("%lld",((x*((x1-y1)/ans))%(l/ans)+(l/ans))%(l/ans));
20 }

还有一道也是模板P4777,涉及同余方程组求解,上面已详细的讲了,近期我也会发一篇中国剩余定理的博客

 1 inline long long mul(long long a,long long b,long long mod)
 2 {
 3     long long res=0;
 4     while(b>0)
 5     {
 6         if(b&1) res=(res+a)%mod;
 7         a=(a+a)%mod;
 8         b>>=1;
 9     }
10     return res;
11 }
12 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
13 {
14     if(!b)
15     {x=1;y=0;return a;}
16     long long gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
17     k1=x;x=y;
18     y=k1-a/b*y;
19     return gcd;
20 }
21 int main()
22 {
23     io::begin();
24     io::read(n);
25     for(register int i=1;i<=n;i++)
26     io::read(b1[i]),io::read(a1[i]);
27     long long x,y,k;
28     long long m=b1[1],ans=a1[1];
29     for(int i=2;i<=n;i++)
30     {
31         long long a=m,b=b1[i],c=(a1[i]-ans%b+b)%b;
32         long long gcd=exgcd(a,b,x,y);
33         long long p=b/gcd;
34         x=mul(x,c/gcd,p);
35         ans+=x*m;
36         m*=p;
37         ans=(ans%m+m)%m;
38     }
39     printf("%lld",(ans%m+m)%m);
40 }

2.扩欧求逆元

这是一种很重要的算法,至于逆元怎么跟扩欧扯上关系,大家可以点这里乘法逆元及两道模板题详解

这里就不多赘述了,大家可以用扩欧a一下P3811,P2613。


 

 

我要讲的讲完了,如果觉得讲的还好,请关注我的blog,谢谢

扩展欧几里得(exgcd)与同余详解

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原文地址:https://www.cnblogs.com/mashiro-/p/9526323.html

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