线性回归之问题建模

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考虑下图所示数据集：

 这是一个关于居住面积，卧室数量和房屋价格的数据集。

对于这个数据集，x就是二维的向量，因为每一个训练样本包含两个属性（居住面积，卧室数量）。

为了进行监督学习，必须提出一个合理的假设或函数，假如我们用线性函数

去近似y（对于上述数据集y就是房屋的价格），x_i(i = 1,2,...m)代表第i个训练样本，θ就是我们要学习的参数，也可称之为权重。

现在知道训练集，该如何选择参数呢？我们的目的就是使得h(x)与y越接近越好，至少对于训练集如此。

所以定义一个损失函数（cost function）

要满足学习目的，显然损失函数值越小越好，也就是说我们要优化损失函数，当损失函数最小时的参数就是我们要选择的参数。这就是典型的最小二乘法。

下面用梯度下降来最小化损失函数J(θ)，更新公式如下：

α是学习率，根据实际情况自己设定，所以关键是对J(θ)关于θ的求导：

于是，可以得出关于参数更新的最终表达式：

这条更新规则被称之为LMS（least mean squares）更新规则.自然而然且直观上理解就是当误差项很小的情况下，就是我们的预测和实际值很接近的时候，对当前的参数就只需作出很小的改变，但是当这个误差项的值较大的时候，就是说预测和实际值的差别比较大，就需要我们对参数做出较大的改变。

值得注意的是，上面的更新规则只针对了一个训练样本j,但是我们需要对整个训练集中的训练样本进行训练，而不只是某一个样本决定最终的参数。所以需要对上述参数更新公式做出调整，第一种调整如下：

m是训练集中的样本数。这种更新方式下，每次更新一个参数θ_j需要遍历到训练集中的每一个样本，因此被称之为批量梯度下降（batch gradient descent），样本数量小的时候是完全可以，但是当样本数量非常巨大的时候，这样更新会使得算法效率很低，可以考虑下面的更新方式：

对于这种方式，每一步更新只需考虑一个训练样本，大大加速了参数更新的速度，因此被称之为随机梯度下降（stochastic gradient descent）,但是这种更新方式有可能无法收敛到最小值，而是在最小值附近徘徊，庆幸的是虽然不能达到最小值，但是在实际中已经很接近最小值了，所以特别在样本数量非常巨大的时候，随机梯度下降要比批量梯度下降更好。

线性回归之问题建模

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