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[arc082e]ConvexScore

时间:2018-08-26 16:45:34      阅读:236      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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题意:

给出直角坐标系中的$N$个点$(X_i,Y_i)$,定义由其中部分点构成的点集为“凸点集”当且仅当这些点恰好能构成一个凸多边形(内部没有其他点)。

如图,点集$\{A,C,E\}$和$\{B,D,E\}$是凸点集,而$\{A,C,D,E\}$,$\{A,B,C,E\}$,$\{A,B,C\}$,$\{D,E\}$和$∅$则不是。

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对于每个凸点集$S$,设这个凸点集内部(包括内部的点,所有顶点和边上的点)一共有$m$个点,那么它对答案的贡献就是$2^{m-|S|}$,求答案模998244353的结果。

$1\leq N\leq 200$

题解:

这题题面看起来很可怕。。。开始以为要写凸包的东西,看到那个998244353又以为是多项式相关。。。但是实际上这个模数是吓人的。。。理解了题意就非常好做了。

考虑一个凸点集$S$,设它内部的所有点组成的集合为$A$,显然$|A|=m$。那么有$2^{m-|S|}=2^{|A|-|S|}$。观察$|A|-|S|$这个式子,实际上表示的就是$S$内部不包括边界上的点的个数,即$|\complement_{A}S|$。那么$2^{m-|S|}$的实际意义就是$\complement_{A}S$的子集个数。至此题意就转化为在$\complement_{A}S$里随便选点,选出来之后再加上$S$,方案总数便是对答案的贡献。这些选点方案的共同点就是边界$S$是一样的,而凸点集内部的情况不同,换一种说法,就是这些点所能形成的凸包都是相同的。考虑原问题点集中的任意一个凸包,它对答案的贡献就是内部的点集的子集个数。然后我们惊奇的发现:这求的就是能形成凸包的点集个数!进一步,就是原点集中凸包的个数!

那么可以直接暴力。。。考虑不能形成凸包的情况,就是三个或以上的点共线,设有$(n+2)$个点共线,那么答案就会少$2^n$。原本点集中点数大于等于3的点集个数是$2^{n}-1-n-\binom{n}{2}$,再减去上面共线的情况减少的就行了。。。

$O(n^3)$搞定

代码:

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cmath>
 5 #define mod 998244353
 6 using namespace std;
 7 typedef long long ll;
 8 int n,ans,x[501],y[501],pw[501];
 9 int main(){
10     scanf("%d",&n);
11     pw[0]=1;
12     for(int i=1;i<=n;i++)pw[i]=(ll)pw[i-1]*2%mod;
13     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
14     ans=(pw[n]-n-1-n*(n-1)/2+mod)%mod;
15     for(int i=1;i<=n;i++){
16         for(int j=i+1;j<=n;j++){
17             int tmp=0;
18             for(int k=j+1;k<=n;k++){
19                 if((y[j]-y[i])*(x[k]-x[j])==(y[k]-y[j])*(x[j]-x[i]))tmp++;
20             }
21             ans=(ans+mod+1-pw[tmp])%mod;
22         }
23     }
24     printf("%d",ans);
25     return 0;
26 }

人家真的没有抄代码!口亨QAQ

[arc082e]ConvexScore

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原文地址:https://www.cnblogs.com/dcdcbigbig/p/9537585.html

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