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下面该栏目列出一些可能会用到的已经证实的理论! 大多数的理论均来自1.
对于 \(\forall x,y,z \in X\), 若存在映射
\[ \begin{aligned} d:\; &X \times X \rightarrow \mathbb{R}^1\&(x,y) \mapsto d(x,y) \end{aligned} \]
定义如下几个性质:
定义 1.1 设 \(X\) 是非空集合, 对于 \(\forall x,y,z \in X\), 若存在映射
\[ \begin{aligned} d:\; &X \times X \rightarrow \mathbb{R}^1\&(x,y) \mapsto d(x,y) \end{aligned} \]
同时满足非负性, 对称性, 三角不等式, 则称 \(d(x,y)\) 是元素 \(x\) 与 \(y\) 之间的距离. 在集 \(X\) 中定义了距离 \(d\) 之后, 就称 \(X\) 为距离空间, 记作 \((X,d)\). \((X,d)\) 中的元素又称为点.
设 \(A\) 是距离空间 \((X,d)\) 的子集, 则 \(A\) 按 \(X\) 中定义的距离 \(d\) 也形成一个距离空间 \((A,d)\), 称为 \((X,d)\) 的子空间, 有时我们也简称 \(A\) 是 \(X\) 的子空间.
设 \(X = (X,d)\) 为距离空间, \(x_0 \in X, r > 0,\) 则
\[ B(x_0,r) = \{x\in X: d(x,x_0) < r\} \]
称为以 \(x_0\) 为中心, \(r\) 为半径的 \(r\) 球形邻域; 而
\[ \overline{B}{(x_0,r)} = \{x\in X: d(x,x_0) \leq r\} \]
称为以 \(x_0\) 为中心, \(r\) 为半径的 \(r\) 闭球.
\(S(x_0,r)=\{x\in X: d(x,x_0) = r\}\) 称为球面. 设 \(A,B \subset X,\) 则 \(d(x,B) = \inf\; \{d(x,y):y \in B\}\) 称为 \(x\) 与集 \(B\) 之间的距离; \(d(A,B) = \inf\; \{d(x,y):x, \in A,y \in B\}\) 称为集 \(A\) 与 \(B\) 之间的距离.
\(\operatorname{diam} A = \sup \{d(x,y):x,y\in A\}\) 称为集 \(A\) 的直径. 设 \(A\subset X\), 若存在球 \(B(x_0,r) \supset A,\) 则称 \(A\) 为 \(X\) 中的有界集.
定义 1.2 设 \(x_n, x_0 \in X,\) 若
\[ \lim_{n\rightarrow \infty} d(x_n,x_0) = 0 \]
即 \(\forall ε > 0, ? N,\) 使得 \(? n \geq N,\) 有 \(d(x_n,x_0) < ε\), 则称点列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(x_0\), 记作 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x_0\) 或 \(x_n \rightarrow x_0\,(n\rightarrow \infty)\).
定义 1.3 设 \(\{x_k\}\) 是距离空间 \((X,d)\) 中的点列, 若 \(?ε>0,?N,\) 使得 \(?m,n \in N,\) 有 \(d(x_m,x_n) < ε,\) 则称 \(\{x_k\}\) 是 \((X,d)\) 中的柯西点列或基本点列.
定义 1.4 设 \((X,d)\) 为距离空间, \(E ? X,\) 若 \(E\) 中每个柯西点列都收敛于 \(E\) 中的点, 则称 \(E\) 为完备集, 特别, 当 \(E=X\) 时, 称 \((X,d)\) 为完备距离空间.
由实数的完备性, 我们可得 \(\mathbb{R}^n\) 是完备的.
在高等代数课程中, 已经熟悉在集合 \(X\) 中引入线性运算 (\(X\) 中元素的加法和数乘运算) 就形成了线性空间. 设 \(x_1. x_2, \cdots,x_n\) 是数域 \(K\) 上线性空间的一组元素, 若存在不全为 \(0\) 的数 \(\alpha _k \in K\), 使得 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k = 0\), 则称 \(x_1. x_2, \cdots,x_n\) 是线性相关的, 否则, 称 \(x_1. x_2, \cdots,x_n\) 线性无关, 即若 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k = 0\), 则 \(\alpha _k=0\). 设 \(X\) 的子集 \(A\) 中任何有限个向量都线性无关, 则称 \(A\) 为线性无关集; 若 \(A\) 对 \(X\) 中的线性运算是封闭的, 则称 \(A\) 为 \(X\) 的线性子空间, 简称子空间.
\(\operatorname{span}A = \{y = \displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k:x_k\in A,\alpha _k\in K, ?n\}\) 称为由 \(A\) 张成的子空间, 或称 \(A\) 的线性包. 设 \(A\) 是 \(X\) 的线性无关子集, 若 \(\operatorname{span}A=X\), 即对 \(?x\in X,?x_k \in A, \alpha _k\in K,\) 使得 \(x = \displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k\), 则称 \(A\) 为 \(X\) 的一组线性基 (或 Hamel 基), 称 \(A\) 的基数为 \(Z\) 的维数, 记作 \(\operatorname{dim} A\).
设 \(X, Y\) 为数域 \(K\) 上的线性空间. 若 \(T: X \rightarrow Y\) 是满单射且为线性映射, 即: 对 \(\forall x,y \in X, \alpha , \beta \in K\), 有
\[ T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty \]
则称 \(X\) 与 \(Y\) 线性同构或代数同构. \(T\) 称为同构映射, 数域 \(K\) 上两个有限维线性空间 \(X\) 与 \(Y\) 同构的充要条件是 \(X\) 与 \(Y\) 的维数相同.
为了在线性空间中引入拓扑概念, 下面我们引入范数的定义, 通过范数来定义距离.
定义 1.5 设 \(X\) 是数域 \(K\) (实数域 \(\mathbb{R}\) 或复数域 \(\mathbb{C}\)) 上的线性空间, 若存在映射
\[ \begin{aligned} T:\;&X\rightarrow \mathbb{R}^1\&x\mapsto ||x|| \end{aligned} \]
满足:
则称 \(||x||\) 是元素 \(x\) 的范数, 定义了范数 \(||?||\) 的线性空间 \(X\) 称为赋范线性空间, 记作 \((X,||\cdot||)\).
若对 \(? x,y\in X,\) 令
\[ d(x,y) = ||x-y|| \]
则易证 \(d\) 是 \(X\) 上的距离空间, 称 \(d\) 为由范数 \(||?||\) 导出的距离.
定义 1.6 设 \((X,||\cdot||)\) 是赋范线性空间, \(\{x_n\}\) 是 \(X\) 中的点列, \(x \in X\), 若
\[ d(x_n,x) = ||x_n-x||\rightarrow 0(n\rightarrow \infty) \]
则称 \(\{x_n\}\) 依范数收敛于 \(x\) (或 \(\{x_n\}4\) 强收敛于 \(x\)), 记作 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x\) 或 \(x_n \rightarrow x\,(n\rightarrow \infty)\).
完备的赋范线性空间称为 Banach 空间, 简称为 (B) 空间. 用范数刻画有界集: 若 \(A? X, \displaystyle\sup_{x\in A} ||x||<\infty\), 则称 \(X\) 为有界集.
定义 1.7 设 \(\{e_n\}\) 是赋范线性空间 \((X,||\cdot||)\) 中的可数集, 若对 \(? x \in X,\) 在数域 \(K\) 中存在唯一确定的数列 \(\{c_k\}\), 使得
\[ ||x - \displaystyle\sum_{k=1}^n c_ke_k|| \rightarrow 0\;(n\rightarrow \infty) \]
则称 \(\{e_n\}\) 为 \(X\) 的 Schauder 基, 简称为 (S) 基, 记作
\[ x = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} c_ke_k \]
上式称为 \(x\) 关于基 \(\{e_n\}\) 的展开式.
定义 1.8 设 \(X\) 是线性空间 \(X\) 中的子集, \(x,y\in X\), 集合 \(\{λx + (1-λ)y:0\leq λ \leq 1\}\) 称为联结 \(x,y\) 两点的线段, 记作 \([x,y]\). 若对 \(\forall x,y\in X, [x,y] \subset A,\) 则称 \(A\) 为 \(X\) 中的凸集, 而集 \(\{x=\displaystyle\sum_{k=1}^n λ_kx_k: λ_k \geq 0, \displaystyle\sum_{k=1}^n λ_k = 1\}\) 称为 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的凸组合. 我们很容易知道 \(X\) 的线性子空间是凸集.
赋范线性空间 \((X,||\cdot||)\) 中的单位球 \(B(0,1)=\{x\in X: ||x||\leq 1\}\) 是 \(X\) 中的凸集.
定义 1.9 设 \(X\) 是数域 \(K\) (实数域 \(\mathbb{R}\) 或复数域 \(\mathbb{C}\)) 上的线性空间, 若存在映射
\[ \begin{aligned} T:\;&X \times X \rightarrow K\&(x,y) \mapsto (x,y) \end{aligned} \]
满足:
则称 \((x,y)\) 为 \(x,y\) 的内积, 定义了内积的线性空间 \(X\) 称为内积空间.
定理 1 设 \(X\) 为内积空间, \(A,B4\) 为 \(X\) 中的非空子集, 则
设 \(X=(X,d)\) 为距离空间, \(A\) 为 \(X\) 的非空子集, 则 \(x\) 到 \(A\) 的距离为
\[ d(x, A) = \inf \{d(x,y):y\in A\} \]
对于 \(x \in X\), 若存在 \(y_0\in A\), 使得
\[ d(x,y_0) = d(x,A) \]
则称 \(y_0\) 是 \(x\) 在集 \(A\) 中的最佳逼近元.
定理 2 (变分引理) 设 \(X\) 为内积空间, \(A\) 是 \(X\) 中非空完备凸集, 则对 \(? x \in X\), 存在唯一的最佳逼近元 \(y_0\in A\), 成立
\[ ||x-y_0|| = \inf \{ ||x-y||: y\in A\}. \]
匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社.2002.8?
标签：display for 3.1 在线 otn ima 不等式 sum math
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