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二次不等式恒成立求参数范围

时间:2018-09-02 20:13:35      阅读:257      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:com   a+b   lam   fbo   交集   技术   nothing   转化   等价   

一、关于二次不等式的恒成立问题的类型和处理策略

二、各种类型的具体例题处理

  • 角度一 形如\(f(x)\ge 0(f(x)\leq 0)(x\in R)\)型的不等式确定参数范围**

技术分享图片\(\fbox{例3}\)(2017铜川模拟)不等式\(a^2+8b^2\ge \lambda b(a+b)\)对于任意的\(a,b\in R\)恒成立,则实数\(\lambda\)的取值范围为_____________。

法1:(将\(b\)\(\lambda\)看做系数)将不等式转化为\(a^2-\lambda ba+8b^2-\lambda b^2\ge 0\)对任意的\(a\in R\)恒成立,

\(\Delta =b^2\lambda^2-4(8b^2-\lambda b^2)=b^2(\lambda^2+4\lambda-32)\leq 0\)

解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)

法2:当\(b=0\)时,即\(a^2\ge 0\)恒成立,\(\lambda\in R\)

\(b\neq 0\)时,原不等式等价于\((\cfrac{a}{b})^2+8\ge \lambda (\cfrac{a}{b})+\lambda\)

\(\cfrac{a}{b}=t\in R\),即\(t^2-\lambda t+8-\lambda\ge 0\)对任意的\(t\in R\)恒成立,

\(\Delta =(\lambda)^2-4(8-\lambda)\leq 0\)

解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)

综上所述(两种情况取交集),实数\(\lambda\)的取值范围为\(-8\leq \lambda \leq 4\)

  • 角度二 形如\(f(x)\ge 0(x\in[a,b])\)型的不等式确定参数范围

技术分享图片\(\fbox{例4}\)

设函数\(f(x)=mx^2-mx-x(m\neq 0)\),若对于\(x\in [1,3]\)\(f(x)<-m+5\)恒成立,求\(m\)的取值范围。

法1:利用二次函数求解,要使\(f(x)<-m+5\)恒成立,即\(mx^2-mx+m-6<0\)

\(m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6<0\)\(x\in[1,3]\)上恒成立,

\(g(x)=m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6,x\in [1,3]\)

\(m>0\)时,\(g(x)\)\([1,3]\)上是增函数,

所以\(g(x)_{max}=g(3)=7m-6<0\), 解得\(m<\cfrac{6}{7}\)

则有\(0<m<\cfrac{6}{7}\)

\(m<0\)时,\(g(x)\)\([1,3]\)上是减函数,

所以\(g(x)_{max}=g(1)=m-6<0\), 解得\(m<6\)

则有\(m<0\)

综上所述,\(m\)的取值范围是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)

法2:分类参数法,因为\(x^2-x+1>0\),由\(f(x)<-m+5\)可得\(m(x^2-x+1)-6<0\)

故有\(m<\cfrac{6}{x^2-x+1}\)恒成立,

又因为函数\(y=\cfrac{6}{x^2-x+1}=\cfrac{6}{(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}}\)在区间\([1,3]\)上的最小值为\(\cfrac{6}{7}\),

故只需\(m<\cfrac{6}{7}\)即可,

又因为\(m\neq 0\),所以\(m\)的取值范围是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)

技术分享图片\(\fbox{例4-1}\)

已知函数\(f(x)=x^2 +ax-2a≥0\)在区间 \([1,5]\)上恒成立,求参数\(a\)的取值范围。

技术分享图片\(\fbox{法1,二次函数法}\)

①由于\(\Delta=a^2+8a≤0\)时满足题意,解得\(-8≤a≤0\)

求得对称轴\(x=-\cfrac{a}{2}\)

再考虑对称轴\(x=-\cfrac{a}{2}\)和给定区间\([1,5]\)的相对位置关系

②当\(-\cfrac{a}{2}≤1\)时,即\(a≥-2\)时,函数\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递增,

所以\(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2a≥0\),解得\(-2≤a≤1\),又因为\(a≥-2\),所以得到\(-2≤a≤1\)

③当\(-\cfrac{a}{2}≥5\)时,即\(a≤-10\)时,函数\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递减,

所以\(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2a≥0\),解得\(a≥-\cfrac{25}{3}\),又因为\(a≤-10\),所以得到\(a\in\varnothing\).

④当\(1<-\cfrac{a}{2}<5\),即\(-10<a<-2\)时,\(f(x)_{min}=f(-\cfrac{a}{2})=\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a^2}{2}-2a≥0\)

得到\(-8≤a≤0\),又\(-10<a<-2\),所以\(-8≤a<-2\)(这种情形可以省略)

综上可得\(a\)的取值范围是\([-8,1]\)

法2:分离参数法,先转化为\((x-2)a\ge -x^2,x\in [1,5]\)

接下来就转化为了三个恒成立的命题了,

\(x=2\)时,原不等式即\((2-2)a\ge -4\)\(a\in R\)都符合题意;

\(2<x<5\)时,原不等式等价于\(a\ge \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)\)恒成立;

\(g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\leq 2\sqrt{(x-2)\cdot \cfrac{4}{x-2}}-4=-8\)

求得当\(x=4\)时,\(g(x)_{max}=-8\),故\(a\ge -8\)

\(1<x<2\)时,原不等式等价于\(a\leq \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)\)恒成立;

\(g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\ge 2\sqrt{-(x-2)\cdot \cfrac{-4}{x-2}}-4=0\)

当且仅当\(x=0\)时取到等号,并不满足前提条件\(1<x<2\),故是错解。

此时需要借助对勾函数的单调性,函数\(y=x+\cfrac{4}{x}\)在区间\([1,2]\)上单调递增,

那么\(y=x-2+\cfrac{4}{x-2}\)在区间\([1,2]\)上单调递减,

\(y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}\)在区间\([1,2]\)上单调递增,\(y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\)在区间\([1,2]\)上单调递增,

\(g(x)_{min}=g(1)=1\),故\(a\leq 1\)

以上三种情况取交集,得到\(a\in [-8,1]\)

  • 角度三 形如\(f(x)\ge 0(参数m\in[a,b])\)型的不等式确定参数范围

技术分享图片\(\fbox{例5}\)已知\(a\in[-1,1]\)时不等式\(x^2+(a-4)x+4-2a>0\)恒成立,则\(x\)的取值范围是多少?

分析:主辅元换位,把不等式的左端看成关于\(a\)的一次函数,

记为\(f(a)=(x-2)a+x^2-4x+4\),则由\(f(a)>0\)对于任意的\(a\in[-1,1]\)恒成立,

只需\(\begin{cases}f(-1)>0\\f(1)>0\end{cases}\)即可,

\(\begin{cases}x^2-5x+6>0\\x^2-3x+2>0\end{cases}\)

解得\(x<1\)\(x>3\),则\(x\)的取值范围是\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\).

三、对应练习:

1、(2017新余模拟)不等式\(x^2-2x+5\ge a^2-3a\)对任意实数\(x\)恒成立,则实数\(a\)的取值范围是

分析:令\(a^2-3a=A\)\(x^2-2x+5=f(x)\)

则转化为\(f(x)\ge A\)对任意实数恒成立,即需要求解\(f(x)_{min}\);

2、已知不等式\(x^2-2x+a>0\)对任意实数\(x\in[2,3]\)恒成立,则实数\(a\)的取值范围是___________.

分析:分离参数得到\(a>-x^2+2x\)对任意实数\(x\in[2,3]\)恒成立,

即需要求函数\(f(x)=-x^2+2x,x\in[2,3]\)\(f(x)_{max}\),

\(f(x)=-(x-1)^2+1,x\in[2,3]\),故\(f(x)_{max}=f(2)=0\),则得到\(a>0\).

3、已知函数\(f(x)=-x^2+ax+b^2-b+1(a\in R,b\in R)\),对任意实数\(x\)都有\(f(1-x)=f(1+x)\)成立,若当\(x\in[-1,1]\)时,\(f(x)>0\)恒成立,则\(b\)的取值范围是_____________.

分析:先由\(f(1-x)=f(1+x)\)得到,二次函数的对称轴\(x=-\cfrac{a}{-2}=1\),解得\(a=2\)

故题目转化为\(-x^2+2x+b^2-b+1>0\)对任意\(x\in [-1,1]\)恒成立,

整体法分离参数

得到\(b^2-b>x^2-2x-1\)对任意\(x\in[-1,1]\)恒成立。

\(g(x)=x^2-2x-1,x\in[-1,1]\),需要求函数\(g(x)_{max}\)

\(g(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2,x\in[-1,1]\)

\(g(x)\)在区间\([-1,1]\)上单调递减,则\(g(x)_{max}=g(-1)=2\)

\(b^2-b>2\),解得\(b<-1\)\(b>2\)

二次不等式恒成立求参数范围

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原文地址:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9574575.html

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