HDU - 5584 LCM Walk （数论 GCD）

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InputFirst line contains an integer T, which indicates the number of test cases. 

Every test case contains two integers exex and eyey, which is the destination grid. 

?? 1≤T≤1000
?? 1≤ex,ey≤109.Output For every test case, you should output " Case #x: y", where x indicates the case number and counts from 1 and y is the number of possible starting grids. 
Sample Input

3
6 10
6 8
2 8

Sample Output

Case #1: 1
Case #2: 2
Case #3: 3

【题目大意】：一只青蛙在坐标系中跳跃，假设它某一时刻位于（x,y）,那么它下一次可以跳到（x+z，y） 或者 （x, y+z），其中Z = LCM（x , y），就是x,y的最小公倍数。现在已知青蛙跳到了（ex,ey）
问青蛙可能的起点有多少个？从这样的起点跳若干次可以到达(ex , ey),可以一次不跳，要跳必须向右跳或者向上跳，步长为z。

【题解】：首先明白这样一个事实，假设能到达终点（ex,ey）的最左下角的起点是（x,y）， 那么沿途的所有点（x‘,y‘）都是可以到达终点的点。 设GCD（ex , ey） = k, 由于每次跳跃的步长是原坐标中横坐标x和纵坐标y的LCM，即z，从（x,y）出发，不论新的坐标（ x‘ , y‘）是（x+z，y） 还是 （x, y+z），GCD（x‘ , y‘）始终等于k
证明如下：不妨下一步跳到（x+z,y） 设gcd(x,y) = s ; x = ms, y = ns; 显然mn互质
下一步坐标（x‘,y;） gcd(x‘,y‘) = gcd(ms + (ms * ns) / s , ns) = gcd( m*(1+n) , n)
由于m和n互质， n+1 和 n也互质，所以m*(1+n) 和 n必然互质，所以gcd(x‘,y‘) = s所以沿途每一个点的坐标x,y的gcd都相等，等于什么呢，等于最后终点的gcd(ex,ey) = k，这是给定的

【递推】
正推不好推，可以从终点反推，递推公式 f(x , y) = f(x-z1, y) + f(x, y-z2)，其中z1 = (x-z1) * y / k  即z1 = x*y / (k+y)
同理 z2 = x*y / (k+x)

【代码】f函数可以写成循环的，若写成递归的，更新x，y坐标的操作一定要写在递归函数的参数里，不能在此之前做，否则会WA，原因是回溯问题

#include<iostream>
using namespace std;

int gcd(int a, int b){
    if(b == 0)    return a;
    else return gcd(b,a%b); 
}
int k;
long long ans = 0;
void  f(long long x, long long y){
    
    if(x == y){
        return ;
    }
        
    //其实要往右走x > y是必须的，自己可以稍微证明  ，加一个这个条件可以快一点不加也行 
    long long  z1 = (x*y) / (k+y);
    //注意保持每一步GCD都是K 
    if( x>y && (x*y) % (k+y) == 0 && gcd(x-z1 , y) == k){
        
        ans++;
        //cout<<"往右边走 x =  "<<x<<" y = "<<y<<endl;
        f(x - z1,y);
　　　　　　//写成x = x - z1 然后 f(x,y)会WA
    }
    long long z2 = (x*y) / (k+x);
    if(y > x && (x*y) % (k+x) == 0 && gcd(x , y-z2) == k){
        ans++;
        //cout<<"往上边走 x =  "<<x<<" y = "<<y<<endl;
        f(x,y - z2);
    }
    
} 

int main(){
    int ex,ey;
    int t;
    cin>>t;
    int cas=1;
    while(t--){
        ans = 0;
        cin>>ex>>ey;
        k = gcd(ex,ey);
        f(ex,ey);
        cout<<"Case #"<<cas++<<": ";
        cout<<ans+1<<endl;
    }
    return 0;

}

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原文地址：https://www.cnblogs.com/czsharecode/p/9601109.html