标签：cal 模型 height 图片 最大 float 时间 图形 mos
【例】\(\begin{cases} & y^2-x^2 \leq0 \\ &1\leq x\leq 3\end{cases}\)先转化为\(\begin{cases} & y-x \ge 0 \\ & y+x \leq 0 \\ &1\leq x\leq 3\end{cases}\) 或者\(\begin{cases} & y-x \leq 0 \\ & y+x \ge 0 \\ &1\leq x\leq 3\end{cases}\)
【例】\(\begin{cases} & y\ge x^2 \\ & 0\leq x\leq 2 \\ & 0\leq y\leq 2 \end{cases}\)
【例】$|x|+|y|\leq 1 $必须转化为线性的约束条件
\(\begin{cases}& x\ge 0 \\ & y\ge 0 \\ & x+y \leq 1 \end{cases}\)或者\(\begin{cases}& x\ge 0 \\ & y< 0 \\ & x-y \leq 1 \end{cases}\)或者\(\begin{cases}& x< 0 \\ & y\ge 0 \\ & -x+y \leq 1 \end{cases}\)或者\(\begin{cases}& x< 0 \\ & y< 0 \\ & -x-y \leq 1 \end{cases}\)
\(\fbox{例1}\)
已知\(x,y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y-2\leq 0\\x-2y-2\leq 0\\2x-y+2\ge 0\end{cases}\),求解：
(1)\(z=-\cfrac{1}{4}x+y\)的最大值和最小值。
分析：将所给的目标函数改写成\(l:y=\cfrac{1}{4}x+z\)，则可以看到\(z\)的几何意义是直线\(l\)的纵截距，则直线\(l\)沿\(y\)轴向上平移，则\(z\)增大；直线\(l\)沿\(y\)轴向下平移，则\(z\)减小；故直线经过点\(A(2,0)\)时，\(z_{max}=-\cfrac{1}{4}\times2+0=-\cfrac{1}{2}\)；直线经过点\(B(-2,-2)\)时，\(z_{min}=-\cfrac{1}{4}\times(-2)+(-2)=-\cfrac{3}{2}\)；
(2)求\(z=-\cfrac{1}{4}x-y\)的最大值和最小值。
分析：将所给的目标函数改写成\(l:y=-\cfrac{1}{4}x-z\)，则可以看到\(-z\)的几何意义是直线\(l\)的纵截距，则直线\(l\)沿\(y\)轴向上平移，则\(-z\)增大，则\(z\)减小；直线\(l\)沿\(y\)轴向下平移，则\(-z\)减小，则\(z\)增大；故直线经过点\(A(2,0)\)时，\(z_{min}=-\cfrac{1}{4}\times2-0=-\cfrac{1}{2}\)；直线经过点\(B(-2,-2)\)时，\(z_{max}=-\cfrac{1}{4}\times(-2)-(-2)=\cfrac{3}{2}\)；
\(\fbox{例2}\)
设不等式组\(\begin{cases}&x + y \ge 3\\&x - y \ge - 1\\ &2x - y \le 3\end{cases}\)表示的平面区域为D。
（1）求目标函数\(z=2x+3y\)的最值；
（2）求目标函数\(z=3x+2y\)的最值；
（3）求目标函数\(z=2x-3y\)的最值；
（4）求目标函数\(z=3x-2y\)的最值；
（5）求目标函数\(z=3x-y\)的最值；
（6）求目标函数\(z=x^2+y^2\)的最值；
（7）求目标函数\(z=x^2+y^2-6x-4y+10\)的最值；
（8）求目标函数\(z=x^2+6x+y^2+2y+5\)的最值；
（9）求目标函数\(z=\cfrac{y}{x}\)的最值；目标函数\(z=\cfrac{x}{y}\)的最值；
（10）求目标函数\(z=\cfrac{y+1}{x-5}\)的最值.
（11）求目标函数\(z=\cfrac{x+2y+1}{x-2}\)的最值.
（12）求目标函数\(z=\cfrac{x^2+y^2}{xy}\)的最值.
（13）求目标函数\(z=\cfrac{2y-5}{x+2}\)的最值.
（14）求目标函数\(z=\cfrac{y-4}{2x-3}\)的最值.
（15）求函数\(|3x-4y+12|\)的取值范围。提示\(|3x-4y+12|=5\times\cfrac{|3x-4y+12|}{\sqrt{3^2+4^2}}\)
（16）若平面区域夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的最短距离为多少？
分析：平面区域夹在两条平行直线之间，通过旋转可以看出，
只有平行线中的一条和某条边界重合(比如\(BC\))，另一条过边界点(比如\(A\))时距离是最小的，
故转化为比较三个点线距的大小。
（17）已知\(\left\{\begin{array}{l}{x-y-1\leq 0}\\{x+y-6\leq 0}\\{x\ge 1}\end{array}\right.\)，求\(x\cdot y\) 的取值范围；\([0，9]\)
分析：法1，从形入手分析，令\(x\cdot y=k\)，则\(y=\cfrac{k}{x}\)，
法2：从数入手分析，二次函数法，
\(\fbox{例3}\)(2016陕西省一检理科数学第11题)
设\(k>1\)，在约束条件\(\begin{cases} &y\ge x \\ &y\leq kx \\ &x+y\leq 1\end{cases}\)下，目标函数\(z=x+ky\)的最大值小于2，则\(k\)的取值范围是多少？
分析：自行补图，由图像可知目标函数\(y=-\cfrac{1}{k}x+\cfrac{z}{k}\)的最优解是直线\(y=kx\)和\(x+y=1\)的交点\((\cfrac{1}{k+1}，\cfrac{k}{k+1})\)，代入得到\(z_{max}=\cfrac{1}{k+1}+\cfrac{k^2}{k+1}<2\)，化简得到\(k^2-2k+1<2\)，又\(k>1\)，故\(k\in (1，1+\sqrt{2})\).
\(\fbox{例4}\)
若目标函数\(z=kx+2y\)在约束条件\(\begin{cases} &2x-y\leq 1 \\ &x+y \ge 2 \\ &y-x \leq 2\end{cases}\)下仅在点\((1，1)\)处取到最小值，则实数\(k\)的取值范围是多少
分析：有图可知，仅在点\((1，1)\)处取到最小值，只需目标函数\(y=-\cfrac{k}{2}x+\cfrac{z}{2}\)的斜率满足条件\(-1<-\cfrac{k}{2}<2\)即可，解得\(k\in(-4，2)\)；
引申：若题目变为：点\((1，1)\)处取到最小值或取到最小值的最优解不唯一，可得到\(k\in [-4，2]\)；
\(\fbox{例5}\)
已知函数\(f(x)=\begin{cases} (\cfrac{1}{2})^x,&x<0 \\ x-2,&x\ge 0 \end{cases}\)，若\(f[f(-2)]=a\)，实数\(x，y\)满足约束条件\(\begin{cases} & x-a \ge 0 \\ & x+y\leq 6 \\ & 2x-y\leq 6\end{cases}\)，则目标函数\(z=\cfrac{3x+4y+10}{x+2}\)的最大值是_________.
分析：先求得\(a=2\)，再代入做出可行域如图，课件地址
由可行域可以看出\(k=\cfrac{y+1}{x+2}\in [-\cfrac{1}{4}，\cfrac{5}{4}]\)，再将目标函数变形\(z=\cfrac{3x+4y+10}{x+2}=\cfrac{3(x+2)+4y+4}{x+2}=3+4\times\cfrac{y+1}{x+2}\)，从而可以计算出\(z\in [2，8]\).
\(\fbox{例6}\)
若\(z=f(x,y)\)称为二元函数，已知\(f(x,y)=ax+by\)，\(\begin{cases} &f(1,-2)-5 \leq 0 \\ &f(1,1)-4\leq 0 \\ &f(3,1)-10 \ge0\end{cases}\) ，则\(z=f(-1,1)\)的最大值等于( )
分析：由题目已知，能很快转化为在线性约束条件\(\begin{cases} &a-2b-5 \leq 0 \\ &a+b-4\leq 0 \\ &3a+b-10 \ge 0\end{cases}\)下，求目标函数\(z=f(-1,1)=-a+b\)的最大值问题。 余下解答略。
\(\fbox{例7}\)(2016全国第三次大联考第12题)
设P是不等式组\(\begin{cases}x\ge 0\\y\ge 0\\x+3y\leq 1\end{cases}\)表示的平面区域内的任意一点，向量\(\vec{m}=(-1，1)\)，\(\vec{n}=(2，-1)\)，若\(\overrightarrow{OP}=\lambda\vec{m}+\mu\vec{n}\)，则\(\cfrac{\mu}{\lambda+1}\)的取值范围是多少？
分析：由\(\overrightarrow{OP}=(x，y)=(-\lambda+2\mu，\lambda-\mu)\)；则有\(x=-\lambda+2\mu，y=\lambda-\mu\)代入已知的线性约束条件，得到\(\begin{cases}-\lambda+2\mu\ge 0\\\lambda-\mu\ge 0\\-\lambda+2\mu+3(\lambda-\mu)\leq 1\end{cases}\)，求\(\cfrac{\mu}{\lambda+1}\)的取值范围，
即相当于已知\(\begin{cases}x-2y\leq 0\\x-y\ge 0 \\ 2x-y\leq1\end{cases}\)，求\(k=\cfrac{y-0}{x-(-1)}\)的取值范围，如右图所示，故\(k_{min}=k_{BO}=0\)，\(k_{max}=k_{BA}=\cfrac{1-0}{1+1}=\cfrac{1}{2}\)，故\(\cfrac{\mu}{\lambda+1}\)的取值范围为\([0，\cfrac{1}{2}]\)。
\(\fbox{例8}\)(2018西安八校联考第5题)
已知\(O\)是坐标原点，点\(A(2，1)\)，点\(M(x，y)\)是平面区域\(\begin{cases}&y\leq x\\&x+y\leq 1\\&y\ge -1\end{cases}\)内的一个动点，则\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)的最大值是多少？
法1：利用向量的坐标运算得到，\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=2x+y\)，故转化为求\(2x+y\)的最大值，即求\(z=2x+y\)的最大值，用线性规划的常规方法解决即可。
法2：利用向量的投影的几何意义，\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)，其中\(|\overrightarrow{OA}|\)是个定值，故只需要求\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的最大值，而\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的几何意义是\(\overrightarrow{OM}\)在\(\overrightarrow{OA}\)方向上的投影，由图形可知，当点\(M(x，y)\)位于点\((2，-1)\)时投影\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)最大，故将点\((2，-1)\)代入\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=3\)。
变式题：求\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)的最小值是多少？
有时间再补充。
\(\fbox{例9}\)
函数\(y=x^3+3ax^2+3bx\)在区间\([-1，1]\)单调减少，且\(a＞0\)，则\(2a+b\)的最大值为________．
【分析】先由函数单调递减转化为恒成立，再转化为线性规划问题求解。
【解答】
由函数\(y=x^3+3ax^2+3bx\)在区间\([-1，1]\)单调减少，
可得\(f'(x)=3x^2+6ax+3b\leq 0\)在\([-1，1]\)上恒成立，
即\(\left\{\begin{array}{l}{f'(-1)\leq 0}\\{f'(1)\leq 0}\end{array}\right.\)，
即\(\left\{\begin{array}{l}{3-6a+3b\leq 0}\\{3+6a+3b\leq 0}\end{array}\right.\)，
又\(a>0\)，得到
\(\left\{\begin{array}{l}{2a-b-1\ge 0}\\{2a+b+1\leq 0}\\{a>0}\end{array}\right.\)，
做出可行域如右图，由图可知，当直线\(z=2a+b\)，即\(b=-2a+z\)平移和直线\(2a+b+1= 0\)平行时，
\(2a+b\)取到最大值，最大值为\(-1\)。
本题容易受\(a>0\)的影响，即点\((0，-1)\)不在可行域内，
但可以在直线\(2a+b+1=0\)上另外取一点代入求值。
【点评】当利用恒成立转化为线性规划问题后，题目的难度就降低了。同时提醒注意由恒成立命题向二次不等式组转化的这一数学模型，希望大家能理解记忆，以后碰到就可以直接应用。
\(\fbox{例10}\)
已知实数\(a、b\)满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{a+b-2\ge 0}\\{b-a-1\leq 0}\\{a\leq 1}\end{array}\right.\)，求\(\cfrac{a+2b}{2a+b}\)的取值范围。
【法1】转化为斜率型，
思路如下：由于所求值函数为分式形式的关于\(a、b\)的二次齐次式，
故可以转化为\(\cfrac{a+2b}{2a+b}=\cfrac{1+2\cdot \cfrac{b}{a}}{2+\cfrac{b}{a}}\)，
\(=2-\cfrac{3}{2+k}=f(k)\)，其中\(k=\cfrac{b}{a}\)
这样先由可行域求得\(k=\cfrac{b}{a}\in [1，3]\)
函数\(f(k)\)在区间\([1，3]\)上单调递增，
然后用单调性，求得\(\cfrac{a+2b}{2a+b}\in [1，\cfrac{7}{5}]\)
【法2】换元法，令\(a+2b=n\)，\(2a+b=m\)，
联立解以\(a、b\)为元的方程组，得到
\(a=\cfrac{2m-n}{3}\)，\(b=\cfrac{2n-m}{3}\)，
代入原不等式组，可将原约束条件转化为关于\(m 、n\)的不等式组，
即已知\(m 、n\)满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{m+n-6\ge 0}\\{n-m-1\leq 0}\\{2m-n-3\leq 0}\end{array}\right.\)，
求\(\cfrac{n}{m}\)的取值范围。
利用数形结合思想可得，\(\cfrac{a+2b}{2a+b}=\cfrac{n}{m}\in [1，\cfrac{7}{5}]\)。图像
标签：cal 模型 height 图片 最大 float 时间 图形 mos
原文地址：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9608814.html
