有限域(3)——多项式环的商环构造有限域

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　　接着上两章内容，我们还是得继续寻找有限域的构造方法。上章证明矩阵环是个单环，自然是没戏了，但我们还可以考虑多项式环。

　多项式环

　　多项式是我们大家熟知的概念，以下都是一元多项式：

　　1

　　2x+4

　　x²+2x+3

　　3x²+5x²+9

　　...

　　所谓的一元就是只有一个未知数，在这里我就不对于一元多项式给出一个严格的定义了，直接解释多项式环。

　　所谓一个环A的多项式环B，指的是如下：

　　(1) B的每个元是一个一元多项式

　　(2) B的每个元(一元多项式)的每一个系数都是A上的元

　　(3) 系数全是A上的元的一元多项式都是B的元

　　多项式的加法、减法就是合并同类项，因为系数取自一个环，所以系数间的加法、减法是合法的，会得到别的多项式。

　　同样，多项式的乘法要麻烦一点，不过也是得到多项式的。多项式的乘法是利用分配律，展开各项。以下整系数多项式的例子可以让我们回忆起多项式的乘法：

　　(x²+2x+3) * (3x+5)

　　= (x²+2x+3) * 3x + (x²+2x+3) * 5

　　= x² * 3x + 2x * 3x + 3 * 3x + x² * 5 + 2x * 5 + 3 *5

　　= 3x³ + 6x² + 9x + 5x² + 10x + 15

　　= 3x³ + 11x² + 19x + 15

　　因为系数都在一个环里，所有乘法、加法都是封闭的，所以多项式乘法也是一样合法的。

　　所以多项式环当然是环。

　　可能有的人想问，为什么这里非要用一元多项式？

　　其实我们在刚才的多项式环定义那里为多项式引入任意多个未知数（甚至无穷多个未知数），其组成的代数系统依然为环，只是多元的多项式环挺复杂，这里不研究。

　　不可分多项式

　　我们知道质数是2、3、5、7、11、13、17...这样除了1和本身外没有其他正约数的正整数。

　　我们在这里对质数做一个引申。

　　一个多项式环上的任意多项式，当然可以表示为1和自身的乘积，当然也可以表示为-1(1元的相反元)和自身的相反元的乘积，这两者都是很平凡的。

　　比如：

　　x²+x+1 = 1 * (x²+x+1) 

 　　　　     = -1 * (-x²-x-1)

　　这都是平凡的，没什么意义。

　　如果是域上的多项式环，里面任何多项式表示成域上任何一个非0元和一个多项式的乘积。从而，这些也都是平凡的。

　　而所谓真正意义上的分解，就是要求两个乘积项都不是常数，也就是次数是大于0的。

　　比如，

　　x²+2x+1 = (x+1) * (x+1)

　　不可分解的多项式我们称之为不可分多项式。

　　比如整数系数下的x²+x+1就是不可分多项式，实际上，即使是2元域（0/1两个元组成的特征2的域）上，这个多项式也是不可分多项式。

　　但在7元域（0/1/2/3/4/5/6组成的特征7的域）上，

　　x²+x+1 = (x+3) * (x+5) 

　多项式的带余除法

　　我们从小就知道自然数的带余除法，

　　比如

　　7÷3 = 2 ... 1

　　换个写法，7 = 3*2+1

　　其实，域的多项式环里的多项式也存在这样的带余除法。

　　对于多项式f和g(g为非0多项式)，一定存在唯一的多项式a和b，满足

　　f = g*a+b

　　并且b的次数小于g的次数。

　　其实证明起来很简单，就如同儿时的竖式除法计算那样，一步步的把高次的项减掉。

　　比如我们以2元域下的多项式 x⁵+x⁴+x+1 和 x²+x+1为例

                                                  x³     + x      +1

                           _________________________   

        x² + x + 1    |     x⁵ + x⁴                 + x    + 1

                                  x⁵ + x⁴ + x³

                           ______________

                                                  x³         + x

                                                  x³ + x² + x

                                                 ___________

                                                          x²          + 1

                                                          x²   + x   + 1

                                                       ____________

                                                                    x

　　所以，

　　　　　　x⁵+x⁴+x+1 = (x²+x+1) * (x³+x+1)  + x

　　带余除法对于后面的理解有至关重要的作用。

　有限域

　　既然想通过商环的方法构造域，那么当然要先考虑多项式环的理想。

　　我们依然使用生成元的方法去研究。

　　我们以 p阶素域 作为原本的环 A， 那么A的多项式环称为 B,

　　我们考虑由多项式 f 生成的理想，我们假设 f 是可以分解的，f = f₁ * f_2。

　　f₁、f₂并不在理想里，很明显，f₁、f₂的次数比f都低，不存在f乘以一个多项式得到f₁ 或 f₂。

　　我们再回忆一下商环的运算，根据f = f₁ * f₂，我们有

　　商集(f₁) * 商集(f₂) = 商集(f)

　　商集(f)其实就是理想，也就是商环里的0元，

　　从而左边两个非0元乘法得到右边的0元，于是这个商环不是整环，当然更不可能是域了。

　　于是我们考虑由单个不可分多项式生成的理想。

　　考虑其下一个m次不可分多项式 f（最高未知数次数为m）生成的理想 C ,

　　然后我们考虑商环B/C长什么样。

　　理想C其实是所有以多项式 f 为因子的多项式的集合。

　　我们考虑所有次数小于m的多项式，根据排列组合的乘法原理，这样的多项式一共有p^m个。

　　对于任意两个不同的次数小于m的多项式，假设为g和h。

　　g-h为非0的次数小于m的多项式，从而g-h不可能以f为因子，从而g-h不在理想里，从而g和h一定属于不同的商集。

　　因为g和h选择的随意性，从而这p^m个多项式分属于p^m个不同的商集。

　　上面介绍过带余除法，考虑次数大于等于m的多项式，假设有一个这样的多项式h,

　　一定存在一个多项式a和一个次数小于m的多项式b，使得

　　h = g*a+b

　　h-b = g*a

　　g*a在理想C里，于是h和b在同一个商集里。

　　由于h选择的随意性，从而任何一个次数大于等于m的多项式都落在那p^m个不同的商集里。

　　所以，我们最终的这个商环也就有p^m个元。

　　这里多项式乘法的可交换性遗传自域乘法的可交换，从而这个商环可交换是必然的。

　　另外，f的不可分特性导致了如果任意g、h不以f为因子，则g*h也不以f为因子。从而，这个商环是一个整环。

　　有限的可交换整环，因为其有限性，那么当然是除环，从而当然就是域啦（其实，并不存在有限的不可交换整环，不过这个定理证明有那么点麻烦）。

　　OK,我们终于找到了构造任意阶有限域的方法。

　　附：上一章有网友提议用LaTeX，嗯，本人确实有点懒，不过后面会考虑的。

　　另外，很多网上文章这里都写 本原多项式 ，人云亦云，悲哀，一帮只愿去抄书不愿去理解的人啊。

　　建议还是先去了解一下什么叫本原多项式吧。

有限域(3)——多项式环的商环构造有限域

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