标签：高考 整数 关于 均值 sqrt 求值 span ima 函数
公式：\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)；
\((a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}\)；
\((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\)；
应用：\(4^x=(2^2)^x=(2^x)^2\)；
\(9^{x-1}=(3^2)^{x-1}=(3^{x-1})^2\)；
\(2^x+2^x=2^{x+1}\)；
\(2^{x+1}-2^x=2^x\cdot 2-2^x=2^x(2-1)=2^x\)；
\(2^{x}-2^{x-1}=2^{x-1}\)；
\(2^{x+1}+2^x=3\cdot 2^x\)；
①、对数恒等式：\(a^{log_aN}=N(a>0，a\neq 1，N>0)\)
证明：由\(a^b=N\)得到\(b=log_aN\)，代入\(a^b=N\)即得到\(a^{log_aN}=N\)。
公式的作用：从左到右是化简，从右向左是常数指数化。
\(\fbox{易错的运算例}\)
\(2^{-log_23}=\cfrac{1}{3}\)；
\(4^{\frac{1}{2}log_210}=(4^{\frac{1}{2}})^{log_210}=2^{log_210}=10\)；
\(7^{-log_7\cfrac{1}{2}}=2\)；
\(4^{\frac{1}{2}+log_210}=4^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{log_210}=2\cdot 2^{log_2{10}^2}=200\)；
\(2^x>3\Longrightarrow 2^x>3=2^{log_23}\Longrightarrow x>log_23\)；
\(log_3[log_3(log_4\;^x)]=0\)，解得\(log_3(log_4\;^x)=1\)，解得\(log_4\;^x=3\)，解得\(x=64\)
②、对数换底公式：
\(log_ab=\cfrac{log_cb}{log_ca}(a>0,a\neq 1;c>0,c\neq 1;b>0)\)
证明：设\(log_ab=x\)，则\(a^x=b\)，两边取以\(c\)为底的对数，
得到\(log_c{a^x}=log_cb\)，即\(xlog_ca=log_cb\)，
即\(x=log_ab=\cfrac{log_cb}{log_ca}\)，
则有\(log_ab=\cfrac{log_cb}{log_ca}\)。
常用结论：
\(log_ab\cdot log_bc\cdot log_cd= log_ad\)；
用换底公式得到
\(\cfrac{lgb}{lga}\cdot \cfrac{lgc}{lgb}\cdot\cfrac{lgd}{lgc}=\cfrac{lgd}{lga}=log_ad\)。
故有\(log_ab=\cfrac{1}{log_ba}\)，
故遇到函数\(f(x)=log_2x+log_x2(x\in[2,3])\)时常可以考虑均值不等式或者对号函数。
如\(f(x)=log_2x+\cfrac{1}{log_2x}\)
③、\(log_{a^m}{b^n}=\cfrac{n}{m}log_ab(m，n\in R，a>0，a\neq 1，b>0)\)
证明：使用换底公式，
\(log_{a^m}{b^n}=\cfrac{lgb^n}{lga^m}\)
\(=\cfrac{nlgb}{mlga}=\cfrac{n}{m}\cdot\cfrac{lgb}{lga}\)
\(=\cfrac{n}{m}log_ab\)。
常用结论：\(log_23=log_49\)；\(log_32=log_94\)；
\(log_24=log_39\)；\(log_42=log_93\)；
\(log_{2^3}5=log_{2^3}5^1=\cfrac{1}{3}log_25\)；
④解如下的不等式组，求\(t\)的取值范围
\(\begin{cases}log_3t\ge 0\\log_3(log_3t)\ge 0\\log_3[log_3(log_3t)]< 0\end{cases}\)
求解\(log_3t\ge 0=log_31\)得到\(t\ge 1①\)；
求解\(log_3(log_3t)\ge 0=log_31\)得到\(t\ge 3②\)；
求解\(log_3[log_3(log_3t)]< 0=log_31\)得到\(3 < t <27③\)；
求交集得到\(3 < t < 27\)，故选B。
二重根式的化简，如化简\(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\)
分析：设\((a+b)^2=7+4\sqrt{3}\)，由于是二重根式，
则有\(\begin{cases}a^2+b^2=7\\2ab=4\sqrt{3}\end{cases}\)，
解得\(a=2，b=\sqrt{3}\)或\(b=2，a=\sqrt{3}\)
即有\(\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}\)。
【2017全国卷1，文科第17题高考真题】
记\(S_n\)为等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和，已知\(S_2=2，S_3=-6\)。
（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。
分析：本问比较简单，你能说出怎么个简单法吗？
解方程组得到\(a_1=-2，q=-2\)，
故\(\{a_n\}\)的通项公式\(a_n=-2\cdot (-2)^{n-1}=(-2)^n\)。
（2）求\(S_n\)，并判断\(S_{n+1}，S_n，S_{n+2}\)是否成等差数列。
分析：先求解
\(S_n=\cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)
\(=\cfrac{-2[1-(-2)^n]}{1-(-2)}\)
\(=\cfrac{-2+2\cdot (-1)^n\cdot 2^n}{3}\)
\(=-\cfrac{2}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+1}}{3}\)。
接下来你得意识到，
\(S_n\)是个关于自变量\(n\)的函数，
故由此我们应该能写出\(S_{n+1}\)，\(S_{n+2}\)
至于等差数列的判断，我们依据等差中项法判断即可，
即验证\(S_{n+2}+S_{n+1}\)是否等于\(2S_n\)。
判断如下：\(S_{n+2}+S_{n+1}\)
\(=-\cfrac{2}{3}+(-1)^{n+2}\cfrac{2^{n+3}}{3}-\cfrac{2}{3}+(-1)^{n+1}\cfrac{2^{n+2}}{3}\)
\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n\cdot (-1)^2\cfrac{2^{n+3}}{3}+(-1)^n\cdot (-1)^1\cfrac{2^{n+2}}{3}\)
\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+3}}{3}-(-1)^n\cfrac{2^{n+2}}{3}\)
\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n(\cfrac{2^{n+2}\cdot 2}{3}-\cfrac{2^{n+2}}{3})\)
\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+2}}{3}\)
\(=2[-\cfrac{2}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+1}}{3}]=2S_n\)，
故\(S_{n+1}，S_n，S_{n+2}\)成等差数列。
对正整数\(n\)，设曲线\(y=x^n(1-x)\)在\(x=2\)处的切线与\(y\)轴交点的纵坐标为\(a_n\)，则数列\(\{\cfrac{a_n}{x+1}\}\)的前\(n\)项和的公式是________.
分析：\(y=f(x)=x^n(1-x)=x^n-x^{n+1}\)，则\(f'(x)=nx^{n-1}-(n+1)x^n\)，
则\(k=f'(2)=n2^{n-1}-(n+1)2^n=n2^{n-1}-(n+1)2^{n-1}\cdot 2=n2^{n-1}-(2n+2)2^{n-1}=2^{n-1}(n-2n-2)=-(n+2)\cdot 2^n\)
又切点为\((2，-2^n)\)，则切线方程为\(y-(-2^n)=-(n+2)2^n(x-2)\)，
令\(x=0\)，得到切线与\(y\)轴交点的纵坐标\(y=(n+1)2^n=a_n\)，
令\(b_n=\cfrac{a_n}{n+1}=2^n\)，
数列\(\cfrac{a_n}{n+1}\)的前\(n\)项和为
\(T_n=2+2^2+2^3+\cdots+2^n=\cfrac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2\)；
解对数方程：\(log_2(9^{x-1}-5)=log_2(3^{x-1}-2)+2\)
分析：要使得原方程成立，必须先满足条件\(9^{x-1}-5>0①\)， \(3^{x-1}-2>0②\)，
在此前提下，原方程等价于\(log_2(9^{x-1}-5)=log_24(3^{x-1}-2)\);
即\(9^{x-1}-5=4(3^{x-1}-2)\)，
即\(9^{x-1}-4\cdot 3^{x-1}+3=0\)，
即\((3^{x-1})^2-4\cdot 3^{x-1}+3=0\)，
即 \(3^{x-1}=1\)，或者\(3^{x-1}=3\)，
解\(3^{x-1}=1\)， 即\(3^{x-1}=3^0\)，解得\(x=1\)，
解\(3^{x-1}=3\)， 即\(3^{x-1}=3^1\)，解得\(x=2\)，
验证：将\(x=1\)和\(x=2\)代入①②两式，舍去\(x=1\)，保留\(x=2\)，
故方程的根为\(x=2\)。
求值：\(5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}\)
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