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1.问题描述
给定n种物品和一个背包，物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？
2.问题分析
上述问题可以抽象为一个整数规划问题，即求满足 （a）Σwixi ≤ C；（b）xi ∈(0,1), 1≤i≤n；条件下，∑vixi最大时的一个物品xi序列。分析问题可以发现，该问题具有最优子结构性质，那么就可以尝试用动态规划方法求解，而动态规划求解的关键就是列出问题的递归关系表达式。
设m(i,j)为背包容量为j，可选物品为i，i+1，...n时0-1背包问题的最优质，那么可有如下递归式：
m(i,j) = { max( m(i+1, j), m(i+1, j-wi)+vi); j>=wi;
{ m(i+1, j); j<wi;
要求的是m(1,c),此时问题就转化为填充m数组的问题了，以n = 5， c = 10， w[] = {2,2,6,5,4},v[] = {6,3,5,4,6},填充的过程如下图所所示，主要是用上述递归式求值，考虑当前物品能否放入，放入当前物品和不放入导致最终的价值哪个大，图中阴影部分为回溯求xi的过程，表示0,1,4号物品被放入背包中。
| i/j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 3 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 10 | 10 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 10 | 15 |
| 1 | 0 | 3 | 3 | 6 | 6 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 0 | 0 | 6 | 6 | 9 | 9 | 12 | 12 | 15 | 15 | 15 |
3.源码
3.1 非递归
#include <stdio.h>
#define N 1024
#define max(x, y) (x > y ? x : y)
#define min(x, y) (x < y ? x : y)
void knapsack(int *w, int *v, int c, int n, int (*m)[N]);
void traceback(int *w, int (*m)[N], int *x, int n, int c);
int main(int argc, const char *argv[])
{
int n, c, w[N], v[N], m[N][N], x[N], i;
scanf("%d%d", &n, &c);
for(i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &w[i]);
for(i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &v[i]);
knapsack(w, v, c, n-1, m); //这里传的是数组的最大下标
traceback(w, m, x, n-1, c); //求出是否装载的序列 x[i]
printf("Max v: %d\n", m[0][c]);
for(i = 0; i < n; i++)
printf("x[%d] = %d\t", i, x[i]);
printf("\n");
return 0;
}
void knapsack(int *w, int *v, int c, int n, int (*m)[N]){
int j, jMax, i;
jMax = min(w[n] - 1, c);
for(j = 0; j <= jMax; j++) //求m[n][]
m[n][j] = 0;
for(j = c; j > jMax; j--)
m[n][j] = v[n];
for(i = n-1; i > 0; i--){ //依次求m[n-1][] - m[1]
jMax = min(w[i]-1, c);
for(j = 0; j <= jMax; j++){
m[i][j] = m[i+1][j];
}
for(j = c; j > jMax; j--){
m[i][j] = max(m[i+1][j], m[i+1][j-w[i]] + v[i]);
}
}
m[0][c] = m[1][c]; //求m[0][]
if(w[0] < c){
m[0][c] = max(m[1][c], m[1][c-w[0]] + v[0]);
}
}
void traceback(int *w, int (*m)[N], int *x, int n, int c){
int i;
for(i = 0; i < n-1; i++){
if(m[i][c] == m[i+1][c]) //根据m数组 判断是否装进去
x[i] = 0;
else{
x[i] = 1;
c -= w[i];
}
}
x[n] = (m[n][c] > 0) ? 1 : 0;
}
3.2 递归
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define N 5
#define C 10
int w[] = {2, 2, 6, 5,4}; //使用递归 避免传递太多参数，不清晰
int v[] = {6, 3, 5, 4,6}; //因此设置成全局变量
int m[N][C], x[N];
int knapsack(int i, int j);
void traceback();
int main(int argc, const char *argv[])
{
int i;
knapsack(0, C);
traceback();
printf("Max :%d\n", m[0][10]);
for(i = 0; i < N; i++)
printf("x[%d] = %d\t", i, x[i]);
printf("\n");
return 0;
}
int knapsack(int i, int j){
if(i == N-1){
m[i][j] = (j > w[i] ? v[i] : 0);
return m[i][j];
}
int ret1, ret2;
if(j < w[i]){
m[i][j] = knapsack(i+1, j);
}
else{
ret1 = knapsack(i+1, j);
ret2 = knapsack(i+1, j-w[i]) + v[i];
m[i][j] = ret1 > ret2 ? ret1 : ret2;
}
return m[i][j];
}
void traceback(){
int i, n = N-1, c = C;
for(i = 0; i < n; i++){
if(m[i][c] == m[i+1][c]) //根据m数组 判断是否装进去
x[i] = 0;
else{
x[i] = 1;
c -= w[i];
}
}
x[n] = (m[n][c] > 0) ? 1 : 0;
}
3.3 书上有种改进的算法，采用跳跃点实现，暂时还没看懂，也许过两天在看就懂了呢。
1008-----算法笔记----------0-1背包问题（动态规划求解）
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原文地址：http://www.cnblogs.com/monicalee/p/4012180.html
