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最小割的性质

时间:2018-09-19 14:43:07      阅读:228      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:平面   部分   随机   最小割   最短路   span   body   之间   连通   

数量性质

不同的最小割数量至多为\(n-1\)

最小割确定性

称在任一最小割方案中,在残量图上,由源点出发能到达的点的集合为源点残集,能到汇点的点的集合为汇点残集。称在任一最小割方案中,按最小割将图分为两部分,与源点连通的点集为源点割集,与汇点连通的点集为汇点割集。则最小割有以下性质:

  • 源点残集一定属于源点割集,汇点残集一定属于汇点割集。
    • 推论:若源点残集与汇点残集的并是整张图,则最小割方案唯一。
  • 若一条边满流,且其一个端点属于源点残集,另一个端点属于汇点残集,则这条边在所有的最小割方案中。
  • 若一条边满流,且在残量图中其两端点不连通,则这条边可能在某些最小割方案中。

实现时可考虑tarjan缩SCC。

最小割方案计数

一般图最小割方案计数为NP问题。

平面图上,该问题可转换为最短路计数。

最小割树

用于求任意两点间的最小割大小。

每次随机取两个点,求它们的最小割,将图分为两部分,在这两个集合间连一条边权为最小割的边,然后递归处理两个集合。这样最后会得到一棵树。则两个点之间的最小割大小为其树上唯一路径的最小值。

实现时每次更新两部分中的每对点的答案即可。

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最小割的性质

标签:平面   部分   随机   最小割   最短路   span   body   之间   连通   

原文地址:https://www.cnblogs.com/utopia999/p/9674168.html

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