那么当我们拿到算法的执行次数函数 T(n) 之后怎么得到算法的时间复杂度呢？

1. 我们知道常数项并不影响函数的增长速度，所以当 T(n) = c，c 为一个常数的时候，我们说这个算法的时间复杂度为 O(1)；如果 T(n) 不等于一个常数项时，直接将常数项省略。

比如

第一个 Hello, World 的例子中 T(n) = 2，所以我们说那个函数(算法)的时间复杂度为 O(1)。
T(n) = n + 29，此时时间复杂度为 O(n)。

2. 我们知道高次项对于函数的增长速度的影响是最大的。n^3 的增长速度是远超 n^2 的，同时 n^2 的增长速度是远超 n 的。 同时因为要求的精度不高，所以我们直接忽略低此项。

比如

T(n) = n^3 + n^2 + 29，此时时间复杂度为 O(n^3)。

3. 因为函数的阶数对函数的增长速度的影响是最显著的，所以我们忽略与最高阶相乘的常数。

比如

T(n) = 3n^3，此时时间复杂度为 O(n^3)。

 综合起来：如果一个算法的执行次数是 T(n)，那么只保留最高次项，同时忽略最高项的系数后得到函数 f(n)，此时算法的时间复杂度就是 O(f(n))。为了方便描述，下文称此为 大O推导法

1. 对于一个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，循环次数为 m，则这个
   循环的时间复杂度为 O(n×m)。

   void aFunc(int n) {
       for(int i = 0; i < n; i++) {         // 循环次数为 n
           printf("Hello, World!\n");      // 循环体时间复杂度为 O(1)
       }
   }

    

 　　此时时间复杂度为 O(n × 1)，即 O(n)。
　　　　

2. 对于多个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，各个循环的循环次数分别是a, b, c...，则这个循环的时间复杂度为 O(n×a×b×c...)。分析的时候应该由里向外分析这些循环。

   void aFunc(int n) {
       for(int i = 0; i < n; i++) {         // 循环次数为 n
           for(int j = 0; j < n; j++) {       // 循环次数为 n
               printf("Hello, World!\n");      // 循环体时间复杂度为 O(1)
           }
       }
   } 

 此时时间复杂度为 O(n × n × 1)，即 O(n^2)。

3. 对于顺序执行的语句或者算法，总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。

   void aFunc(int n) {
       // 第一部分时间复杂度为 O(n^2)
       for(int i = 0; i < n; i++) {
           for(int j = 0; j < n; j++) {
               printf("Hello, World!\n");
           }
       }
       // 第二部分时间复杂度为 O(n)
       for(int j = 0; j < n; j++) {
           printf("Hello, World!\n");
       }
   }

    此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

4. 对于条件判断语句，总的时间复杂度等于其中 时间复杂度最大的路径 的时间复杂度。

   void aFunc(int n) {
       if (n >= 0) {
           // 第一条路径时间复杂度为 O(n^2)
           for(int i = 0; i < n; i++) {
               for(int j = 0; j < n; j++) {
                   printf("输入数据大于等于零\n");
               }
           }
       } else {
           // 第二条路径时间复杂度为 O(n)
           for(int j = 0; j < n; j++) {
               printf("输入数据小于零\n");
           }
       }
   }

    此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。