微分方程笔记

时间：2014-05-14 08:52:13 阅读：314 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

线性常微分方程解法

一阶线性微分方程

d y d x + P (x) y = Q (x)

$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$

对应的齐次线性方程

d y d x + P (x) y = 0

$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = 0$

此齐次方程可以用分离变量法求得通解:

y=Ce

?∫P(x)dx

$y = C{e^{-\int {P(x)dx} }}$

常数变易法求非齐次线性方程的通解:

将齐次方程的通解中的C换成u(x):

y=ue

?∫P(x)dx

$y = u{e^{ - \int {P(x)dx} }}$ 带入非齐次线性方程,可求得其解为:

y = C e ? \int P (x) d x + e ? \int P (x) d x \int Q (x) e \int P (x) d x d x

$y = C{e^{ - \int {P(x)dx} }} + {e^{ - \int {P(x)dx} }}\int {Q(x){e^{\int {P(x)dx} }}dx}$

即非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解加非齐次方程的一个特解

二伯努利方程

d y d x + P (x) y = Q (x) y n

$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x){y^n}$

可变换为一阶线性微分方程:

设

z=y

1?n

$z=y^{1-n}$ ,可化为:

d z d x + (1 ? n) P (x) z = (1 ? n) Q (x)

$\frac{{dz}}{{dx}} + (1 - n)P(x)z = (1 - n)Q(x)$

三可降阶的高阶微分方程

y (n) = f (x)

$y^{(n)}=f(x)$

两边积分,可降为n-1阶的微分方程

y (n ? 1) = \int f (x) d x + C 1

$y^{(n-1)}=\int f(x)dx+C_1$

连续n次积分,可得方程含有n个任意常数的通解

y'' = f (x, y')

$y‘‘ = f(x,y‘)$

设

′

$y‘=p$ ,则

′′

′

$y‘‘=p‘$ , 原方程变换为关于变量x,p的一阶微分方程

p' = f (x, p)

$p‘=f(x,p)$

其通解为

d y d x = φ (x, C 1

$\frac{dy}{dx}=\varphi(x,C_1$

积分可得原方程通解:

y = \int φ (x, C 1) d x + C 2

$y=\int \varphi(x,C_1)dx+C_2$

y'' = f (y, y')

$y‘‘=f(y,y‘)$ (方程中不含自变量x的显式)

令

′

$y‘=p$ , 有

y'' = d p d x = d p d y d y d x = p d p d y

$y‘‘=\frac{dp}{dx} =\frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} =p \frac{dp}{dy}$ 原方程化为:

p d p d y = f (y, p)

$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$

其通解为

y' = p = φ (y, C 1)

$y‘=p=\varphi(y,C_1)$

分离变量并积分可得原方程的通解:

\int d y φ ( y , C 1 ) = x + C 2

$\int \frac{dy}{\varphi(y,C_1)}=x+C_2$

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