「JoyOI1048」田忌赛马
题目描述
中国古代的历史故事“田忌赛马”是为大家所熟知的。话说齐王和田忌又要赛马了，他们各派出N匹马，每场比赛，输的一方将要给赢的一方200两黄金，如果是平局的话，双方都不必拿出钱。现在每匹马的速度值是固定而且已知的，而齐王出马也不管田忌的出马顺序。请问田忌该如何安排自己的马去对抗齐王的马，才能赢取最多的钱？
输入
第一行为一个正整数n (n < = 1000) ，表示双方马的数量。 第二行有N个整数表示田忌的马的速度。 第三行的N个整数为齐王的马的速度。
输出
仅有一行，为田忌赛马可能赢得的最多的钱，结果有可能为负。
样例输入
样例输出
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#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int qw[10001]={0},tj[10001]={0};
int n;
cin>>n;
long long ans=-n*200;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>tj[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>qw[i];
sort(tj,tj+n+1);
sort(qw,qw+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=n;j>=1;j--)
{
if(tj[i]>qw[j]){qw[j]=999999;ans+=400;break;}
else if(tj[i]==qw[j]){qw[j]=999999;ans+=200;break;}
}
}
cout<<max(0,ans);
system("pause");
return 0;
}
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是有反例的，因为看不符合历史上赛马的典故，用这种方法下等马变成和下等马赛平了，显然不妥。
但是用最弱的马故意输最强的马当然也是不可取的。
网上有种贪心做法是这样
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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int Max=10000;
int tian[Max],king[Max];
int i,j,n;
bool cmp(int a,int b) {return a>b;}
int main()
{
cin>>n;
for(i=1;i<=n;i++) {cin>>tian[i];}
for(i=1;i<=n;i++) {cin>>king[i];}
sort(tian+1,tian+1+n,cmp);
sort(king+1,king+1+n,cmp);
int ans=0;
int ii,jj;
for(i=1,j=1,ii=n,jj=n;i<=ii;)
{
if(tian[i]>king[j]){ans+=200;i++,j++;}
else if(tian[i]<king[j]){ans-=200;j++,ii--;}
else
{
if(tian[ii]>king[jj])
{
ans+=200;
ii--;jj--;
}
else
{
if(tian[ii]<king[j])
ans-=200;
ii--,j++;
}
}
}
cout<<ans;
return 0;
}
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1.思路
不妨用贪心思想来分析一下问题。因为田忌掌握有比赛的“主动权”，他总是根据齐王所出的马来分配自己的马，所以这里不妨认为齐王的出马顺序是按马的速度从高到低出的。由这样的假设，我们归纳出如下贪心策略：
如果田忌剩下的马中最强的马都赢不了齐王剩下的最强的马，那么应该用最差的一匹马去输给齐王最强的马。
如果田忌剩下的马中最强的马可以赢齐王剩下的最强的马，那就用这匹马去赢齐王剩下的最强的马。
如果田忌剩下的马中最强的马和齐王剩下的最强的马打平的话，可以选择打平或者用最差的马输掉比赛。
2.反例
光是打平的话，如果齐王马的速度分别是1 2 3，田忌马的速度也是1 2 3，每次选择打平的话，田忌一分钱也得不到，而如果选择先用速度为1的马输给速度为3的马的话，可以赢得200两黄金。
光是输掉的话，如果齐王马的速度分别是1 3，田忌马的速度分别是2 3，田忌一胜一负，仍然一分钱也拿不到。而如果先用速度为3的马去打平的话，可以赢得200两黄金。
3.解决方案
通过上述的三种贪心策略，我们可以发现，如果齐王的马是按速度排序之后，从高到低被派出的话，田忌一定是将他马按速度排序之后，从两头取马去和齐王的马比赛。有了这个信息之后，动态规划的模型也就出来了！
4.DP方程
设f[i,j]表示齐王按从强到弱的顺序出马和田忌进行了i场比赛之后，从“头”取了j匹较强的马，从“尾”取了i-j匹较弱的马，所能够得到的最大盈利。
状态转移方程如下：
F[I,j]=max{f[i-1,j]+c[n-(i-j)+1,i],f[i-1,j-1]+c[j,i]}
其中g[i,j]表示田忌的马和齐王的马分别按照由强到弱的顺序排序之后，田忌的第i匹马和齐王的第j匹马赛跑所能取得的盈利，胜为1，输为－1，平为0。
结果用最大的乘以200即可。
5.解释
为什么F[I,j]=max{f[i-1,j]+c[n-(i-j)+1,i],f[i-1,j-1]+c[j,i]}可以呢？
因为你无论怎么样都是从前或者从后面取马，而F[I,j]=max{f[i-1,j]+c[n-(i-j)+1,i],f[i-1,j-1]+c[j,i]}这个方程把所有可能的贪心情况都表示出来了。
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#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[3001][3001],a[3001],b[3001],c[3001][3001];
int n,ans=0;
bool gz(int a,int b) {return a>b;}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=n;j++)
f[i][j]=-999999;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];
sort(a+1,a+n+1,gz);
sort(b+1,b+n+1,gz);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(a[i]>b[j])c[i][j]=1;
else if(a[i]==b[j])c[i][j]=0;
else c[i][j]=-1;
f[0][0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=i;j++)
if(j>=1)f[i][j]=max(f[i-1][j]+c[n-(i-j)+1][i],f[i-1][j-1]+c[j][i]);
else f[i][j]=f[i-1][j]+c[n-(i-j)+1][i];
for(int i=0;i<=n;i++)
ans=max(f[n][i],ans);
cout<<ans*200;
return 0;
}
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