9.29模拟赛

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T1：

【数据范围】

    40%的数据满足 A<=10⁵；

另有30%的数据满足N,M<=10⁹ ；|S|,|T|<=10（|S|表示S的长度）；

100%的数据满足 N,M<=10⁹ ；|S|,|T|<=10⁶。

先求循环节内，即lcm(S,T)内，匹配数出现次数。

然后乘上循环次数即可。

就是S，T内对d=gcd(S,T)同余的位置的相等字符对数的数量。

可以证明.

证明：

设S长度为l1，T长度为l2

如果一个S中位置a的字符和T中位置b的字符相同。

如果可以在循环节内匹配上的话。

那么满足存在k1,k2：a+k1*l1=b+k2*l2

我们现在要找，k1,k2是否存在，有几个。

移项：k1*l1-k2*l2=b-a;

有解条件是：d=gcd(l1,l2)|(b-a)，否则k1,k2不存在

（b-a的正负对解的有无无关紧要，假设是正数）

假设有解，设x=(b-a)/d;

那么，同时除以d，可以有：k1*l1‘-k2*l2‘=x;

其中，l1‘,l2‘互质。

那么就有，k1*l1‘=x+k2*l2‘

有：k1*l1‘=x mod （l2‘）

并且，由于x小于l2‘，所以，如果存在一个非负整数k1，符合方程，那么一定有一个唯一的非负整数的k2

所以等价于同余方程k1*l1‘=x mod （l2‘）的k1有几个非负整数解。

由于l1‘,l2‘互质，所以，存在一个小于l2‘的k1=x*l1‘^(-1) mod (l2‘)

那么，这个k1能否加上若干倍的l2‘呢？

发现，

其实现在k1有了一个条件

因为现在是在循环节的内部，而0<=a<l1；

而lcm=l2‘*l1

所以，0<=k1<l2‘，否则就超出了lcm

由于l1‘,l2‘互质，所以，存在一个k1=x*l1‘^(-1) mod (l2‘)

而k1不能大于等于l2‘，所以，这个k1有且只有一个。

现在我们证明了，

在d=gcd(l1,l2)|(b-a)时，在循环节内有且只有一次a,b匹配的机会。

所以，我们可以枚举字符char∈a~z

把字符都是char的两个位置 b，a关于d的余数分类。

余数相同的ai,bi位置一定会匹配一次。因为做差一定是d的倍数。

所以，我们可以每次扫两遍S，T把char出现的位置记录下来。

然后一个同余类个数直接相乘即可。

最后，再乘上循环节循环次数。

代码：

9.29模拟赛

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原文地址：https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/9726275.html