快速傅里叶变换FFT

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FFT是基于分治思想对DFT和IDFT的优化。

DFT: \(\mathbb{C} ^{N}\rightarrow \mathbb{C} ^{N}: \left( x_{1},\ldots ,x_{N}\right) \rightarrow \left( y_{1},\ldots ,y_{N}\right)\)
IDFT是DFT的逆映射
记\(\omega _{N}=e^{\dfrac {2\pi i}{N}}\)，则
\[DFT: y_{k}=\sum ^{N-1}_{n=0}\omega ^{nk}_{N}x_{n}\IDFT: x_{k}=\sum ^{N-1}_{n=0}\dfrac {\omega ^{-nk}_{N}}{N}y_{n}\]
于是，DFT与IDFT都是N维复空间上的线性变换，其矩阵为Vandermonde矩阵。由于是矩阵乘法，复杂度为O(n^2)。注意到复单位根的性质使得DFT与IDFT高度相似，因此，只需要考虑降低DFT的复杂度即可。

定义：
\[E_{k}=\sum ^{N/2-1}_{m=0}\omega ^{2mk}_{N}x_{2m}\O_{k}=\sum ^{N/2-1}_{m=0}\omega ^{2mk}_{N}x_{2m+1}\]
则\[y_{k}=E_{k}+\omega _{N}O_{k}\y_{k+N/2}=E_{k}-\omega _{N}0_{k}\]
显然，如此递归可以将复杂度降至O(nlogn)。

快速傅里叶变换FFT

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原文地址：https://www.cnblogs.com/maoruimas/p/9726524.html