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Leetcode Week4 Find Minimum in Rotated Sorted Array II

时间:2018-10-01 10:37:11      阅读:188      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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Question

Suppose an array sorted in ascending order is rotated at some pivot unknown to you beforehand.

(i.e.,  [0,1,2,4,5,6,7] might become  [4,5,6,7,0,1,2]).

Find the minimum element.

 

Answer

借用以下网上的翻译:

  把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾,我们称之为数组的旋转。 输入一个非减排序的数组的一个旋转,输出旋转数组的最小元素。 例如数组{3,4,5,1,2}为{1,2,3,4,5}的一个旋转,该数组的最小值为1。 NOTE:给出的所有元素都大于0,若数组大小为0,请返回0。

  下面我们来解题:

  最初可以通过画图理解,我想或许我们可以画着以下的图(为了方便,离散点画成连续的):

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  当然这个草图也真是草图,很粗糙,哈哈,而且不能解释所有情况,它只能解决严格递增。不过,这应该能解决大部分情况,至于其它小部分的情况我们等下再考虑。

主要思路

  我们头脑第一个蹦出来的想法或许就是遍历一次取最小值就好,这很简单,也很容易实现,但这显然不是我们想要的,时间复杂度为O(n)。

  我们想另外一种方法。非减?有序?有没有觉得有点像二分查找,只不过它被分成两截了,不过这并不能难倒我们,我们不妨试着用这思路解决。

  相对于二分查找,我们没有所要查找的目标,数组也不是完全有序。不过,我们想想如何模仿这种过程,二分查找是取中间值来跟目标值比较进而缩小范围的,而我们这题如何缩小范围呢,取什么比较呢,如果取中间值,又和谁比较呢。靠直觉,我们取最初点(设为A)、最后一个点(设为C),与中间点(设为B)比较,因为这三个点最具代表性,对于A与C来说,很显然A>=C,我们再分析B,B可能在左半边直线上,也有可能在右半边直线;如果在左半边直线,这时候B>=A>=C,这时候可以断定最小值在B-C之间,因为B-C不是连续递增的;如果在右半边直线,这时候A>=C>=B,可以断定最小值在A-B之间,因为A-B之间不是连续递增的,肯定在某个地方有个“坑”。总结一下,如果B>C,就继续在B-C查找,如果A>B,则在A-C查找。

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  我们还需要个终止条件,就是让这个查找终止下来。我们通过上面的算法不断缩小搜索范围,最终肯定缩小到两个元素,因为如果存在三个元素以上,中间值是取除边界两个点(A,C)外的其中一个点,这样下次搜索范围能继续缩小,直到两个点。最后我们需要得到最小值,而两个元素必然存在着最小值,但哪个是最小值呢,为了避免麻烦,我们可以比较一次得出最小值。

 (括号可以不看,单纯说下我最初考虑两个值种取最小值的过程,A与C之间的范围逐渐缩小,逐渐逼近最小值,最后剩下的两个点的分布有两种可能,一种是分别在一条直线上,另一种可能是都在右半条直线上,然后,我们细想这个逼近的过程是可以排除第二种可能的,因为点A是不会随着搜索范围的减少而到达下面那条直线的。因此,只会分别在一条直线上,从图上来看两个点恰好是一上一下,这样我们取下面那点,就是那个数组下标偏大的那个点即可,不过这会在我们没有讨论过的一些特例里失效,比如旋转数组为[1,2],因为这不符合我们上面讨论的模型,因为[1,2]全部旋转了,回到最初的位置,元素位置并没有变化,因此我们采用比较两个元素的方法得到最小值比较好)

  所以我们能像二分查找那样写出大致以下的代码:

    int findMinVal(int min, int max, const vector<int> &rotateArray) {
        // 取三个点的值
        int minVal = rotateArray[min];             //最左边的点的值
        int maxVal = rotateArray[max];             //最右边的点的值
        int midVal = rotateArray[(min + max) / 2]; //中间的点的值

        // 终止条件
      if ((max - min) <= 1)
        return minVal > maxVal ? maxVal : minVal;

        // 根据三个点的值缩小搜索范围
        if (midVal > maxVal)
            return findMinVal((min + max) / 2, max, rotateArray);
        else if (minVal > midVal)
            return findMinVal(min, (min + max) / 2, rotateArray);

        // 先无视这个return先,等等再讨论
        return minVal;
    }

 

考虑特殊情况

  如果我们放上Leetcode提交,这肯定是过不了的。如果你是个谨慎的人,一定会想到有各种特殊情况,特别是三个点的值之间存在相等关系的时候。我们下面就来考虑这些情况。

  首先是如果midVal > maxVal或者minVal > midVal,那么在所有情况下都是能正确的缩小搜索范围的,这就不讨论了。
  所以我们剩下要讨论的情况是midVal <= maxVal 且 minVal <= midVal,组合起来就是minVal <= midVal <= maxVal。我们分四种情况考虑 。

  ①minVal < midVal < maxVal,这种情况存在于像[1,2,3]完全旋转后和最初数组一样的数组。这种很明显取minVal即可。

       ②minVal < midVal = maxVal,这种和①一样,例如数组为[1,2,2],取minVal即可。

       ③minVal = midVal < maxVal,  同①,例如[1,1,2],取minVal即可。

       ④minVal = midVal = maxVal,  这种情况有些特殊,不能缩小一半的范围,也不能得出最小值,例如[1,1,0,1]或[1,1,0,1,1,1,1],所以只能一步一步缩小,即将索引min+1,max-1。

  ①-③可以合并。最终代码如下:

  

    int findMin(vector<int>& nums) {
         if (nums.empty())
            return 0;
        return findMinVal(0, nums.size() - 1, nums);
    }

    int findMinVal(int min, int max, const vector<int> &rotateArray) {
 
        int minVal = rotateArray[min];
        int maxVal = rotateArray[max];
        int midVal = rotateArray[(min + max) / 2];
        if ((max - min) <= 1)
            return minVal > maxVal ? maxVal : minVal;
        if (midVal > maxVal)
            return findMinVal((min + max) / 2, max, rotateArray);
        else if (minVal > midVal)
            return findMinVal(min, (min + max) / 2, rotateArray);
        else if (minVal == midVal && midVal == maxVal)
            return findMinVal(min+1, max-1, rotateArray);
        return minVal;
    }

  由于上面的讨论缺乏严格完整的数学证明过程,我不敢保证能考虑到所有情况,如果有漏了某些情况,请告诉我= =,哈哈。不过是能通过leetcode和牛客网的检测的。

Leetcode Week4 Find Minimum in Rotated Sorted Array II

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原文地址:https://www.cnblogs.com/thougr/p/9733901.html

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