标签:代码 \n include problem 递归 乘法 求和 ace 掌握
我对分治的理解:https://www.cnblogs.com/AKMer/p/9728574.html
题目传送门:http://poj.org/problem?id=1845
题目求\(a^b\)的所有约数之和。
如果一个数\(a=p_1^{l_1}p_2^{l_2}p_3^{l_3}....p_k^{l_k}\),那么\(p_1^{g_1}p_2^{g_2}....p_k^{g_k},\forall g_i\in[0,l_i]\)是\(a\)的约数。\(a\)的约数个数就有\(\prod\limits_{i=1}^n(l_i+1)\)个(每个质因子都有\([0,l_i]\)那么多幂可以选择)。而他们的和就是\((1+p_1^1+p_1^2+...p_1^{l_1})(1+p_2^1+p_2^2+...+p_2^{l_2})...(1+p_k^1+p_k^2+...+p_k^{l_k})\)
在\([0,5e7]\)范围内,一个数最多有\(8\)个不同的质因数,所以我们只需要掌握快速求一形如\(a^0+a^1+a^2+...+a^p\)的式子的值就可以了。
如果你会等比数列求和公式和求乘法逆元,那么请出门左拐,因为我接下来要讲的是分治做法。
我们令\(mid=p>>1\).
如果\(p\)是奇数,那么这个式子一共有偶数个加数。我们在后半部分提出一个\(a^{mid}\),式子就可以变成\((a^{mid}+1)(a^0+a^1+a^2+...+a^{mid-1})\),对于\((a^{mid}+1)\)我们可以利用快速幂求出,而\((a^0+a^1+a^2+...+a^{mid-1})\)我们可以递归处理。
如果\(p\)是偶数,同理,原式等于\(a^{mid}+(1+a^{mid+1})(a^0+a^1+a^2+...+a^{mid-1})\)
若\(p\)等于零,那么直接\(return\) \(1\)就可以了。
时间复杂度:\(O(log^2n)\)
空间复杂度:\(O(1)\)
代码如下:
#include <cstdio>
using namespace std;
const int pps=9901;
int a,b,ans=1;
int read() {
int x=0,f=1;char ch=getchar();
for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
return x*f;
}
int quick(int a,int b) {
int sum=1;a%=pps;
while(b) {
if(b&1)sum=sum*a%pps;
a=a*a%pps;b>>=1;
}
return sum;
}
int query(int p,int power) {
if(power==0)return 1;
if(power&1)return (1+quick(p,(power>>1)+1))*query(p,power>>1)%pps;
else return (quick(p,power>>1)+(quick(p,(power>>1)+1)+1)*query(p,(power>>1)-1)%pps)%pps;
}
int main() {
a=read(),b=read();
if(!a) {puts("0");return 0;}
for(int i=2;i<=a;i++)
if(a%i==0) {
int tmp=0;
while(a%i==0)
a/=i,tmp++;
tmp*=b;
ans=ans*query(i,tmp)%pps;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
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原文地址:https://www.cnblogs.com/AKMer/p/9734939.html