抽象函数的对称性验证

抽象函数的性质往往不太好想，所以举个例子，加以验证。

作为学生，不需要知道那么严谨的逻辑证明，只要会用结论就行了。

1、函数的对称性图像说明：

轴对称函数所举的例子：\(f(x)=\cfrac{1}{2}(x-2)^2\)；

中心对称函数所举的例子：\(f(x)=(x-1)^3\)；

2、函数的对称性的逻辑证明：

①、函数\(f(x)\)的对称轴为直线\(x=2\)的充要条件是函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f(4-x)\)。

充分性：函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f(4-x)\)，取其上任意一点\((x_0，y_0)\)，

则有\(y_0=f(x_0)\)，则有\(f(x_0)=f(4-x_0)=y_0\)，

说明点\((x_0，y_0)\)和点\((4-x_0，y_0)\)都在函数图像上，

而这两个点关于直线\(x=\cfrac{x_0+(4-x_0)}{2}=2\)对称，

又由于点的任意性可知，函数关于直线\(x=2\)对称；

必要性：函数\(f(x)\)的对称轴为直线\(x=2\)，

取其上任意一点\((x_0，y_0)\)，则有\(y_0=f(x_0)\)，

而点\((x_0，y_0)\)关于直线\(x=2\)的对称点是\((4-x_0，y_0)\)，

故有\(y_0=f(x_0)=f(4-x_0)\)，即\(f(x_0)=f(4-x_0)\)，

又由于点的任意性可知，函数必然满足\(f(x)=f(4-x)\)。[证毕]

②、函数\(f(x)\)的对称中心是\((1，1)\)的充要条件是函数\(f(x)\)满足\(f(x)+f(2-x)=2\)。

充分性：函数\(f(x)\)满足\(f(x)+f(2-x)=2\)，取其上任意一点\((x_0，y_0)\)，

则必有\(y_0=f(x_0)\)，

又由于点\((x_0，y_0)\)关于点\((1，1)\)的对称点为\((2-x_0，2-y_0)\)，

\(f(x_0)+f(2-x_0)=2\)，得到\(y_0+f(2-x_0)=2\)，

即\(2-y_0=f(2-x_0)\)，说明点\((2-x_0，2-y_0)\)也在函数图像上，

又由于点的任意性可知，函数图像上任意点关于点\((1，1)\)的对称点也在函数图像上；

必要性：函数\(f(x)\)的对称中心为点\((1，1)\)，

取其上任意一点\((x_0，y_0)\)，其在图像上，则有\(y_0=f(x_0)\)，

而其对称点\((2-x_0，2-y_0)\)也在图像上，故有\(2-y_0=f(2-x_0)\)，

即\(2-f(x_0)=f(2-x_0)\)，即\(f(x_0)+f(2-x_0)=2\)；

又由于点的任意性可知，函数图像上任意点都满足\(f(x)+f(2-x)=2\)；[证毕]

使用方法：

【2017全国卷1文科第9题高考真题】

已知函数\(f(x)=lnx+ln(2-x)\)，则

A、\(f(x)\)在\((0，2)\)单调递增 \(\hspace{0.5cm}\) B、\(f(x)\)在\((0，2)\)单调递减 \(\hspace{0.5cm}\)
C、\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=1\)对称 \(\hspace{0.5cm}\) D、\(y=f(x)\)的图像关于点\((1，0)\)对称

分析：由于函数\(f(x)\)是复合函数，定义域要使\(x>0，2-x>0\)，

即定义域是\((0，2)\)，又\(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1]\)，

则由复合函数的单调性法则可知，

在\((0，1)\)上单增，在\((1，2)\)上单减，故排除A，B；

若函数\(y=f(x)\)关于点\((1，0)\)对称，则函数\(f(x)\)必然满足关系：\(f(x)+f(2-x)=0\)；

若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=1\)对称，则函数\(f(x)\)必然满足关系：\(f(x)=f(2-x)\)；
课件验证

接下来我们用上述的结论来验证，

由于\(f(x)=lnx+ln(2-x)\)，\(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx\)，

即满足\(f(x)=f(2-x)\)，故函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=1\)对称，选C；

再来验证D，发现\(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)]\neq 0\)，D选项不满足。

\(\fbox{例1}\)
已知函数\(f(x)=lg(4x-x^2)\)，则（）

A、\(f(x)\)在\((0，4)\)上单调递增 \(\hspace{2cm}\) B、\(f(x)\)在\((0，4)\)上单调递减 \(\hspace{2cm}\)

C、\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=2\)对称 \(\hspace{2cm}\) D、 \(y=f(x)\)的图像关于点\((2，0)\)对称

分析：令内函数\(g(x)=4x-x^2>0\)，得到定义域\((0，4)\)，

又\(g(x)=-(x-2)^2+4\)，故内函数在\((0，2]\)单减，在\([2，4)\)单增，

外函数只有单调递增，故复合函数\(f(x)\)在\((0，2]\)单减，在\([2，4)\)单增，

故排除A、B；

要验证C选项，

只需要利用\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=2\)对称的充要条件\(f(x)=f(4-x)\)验证即可，

而\(f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x)^2]\)

\(=lg(16-4x-16+8x-x^2)\)

\(=lg(4x-x^2)=f(x)\)，故选C。

若要验证D选项，

只需要利用\(y=f(x)\)的图像关于点\((2，0)\)对称的充要条件\(f(x)+f(4-x)=0\)验证即可。