标签：一段   公共祖先   区间合并   方法   span   递推公式   inline   class   递推   

倍增

线性倍增

预处理

\(f[i][j]\)表示从\(i\)开始的长度为\(2^{j}\)的区间（即区间\([i, i+2^{j}-1]\)）

递推公式（j在外层递增）：

\(f[i][j]=max\{f[i][j-1], f[i+2^{j-1}][j-1]\}\)

即将区间\([l, r]\)分为两个区间合并

查询

分为两段，第一段为区间\([l, k]\)，第二段为区间\([r-k+1, r]\)，其中\(k\)为满足\(2^{k}\le r-l+1\)的所有数中最大的那个数

\(f[i][j]=max\{f[i][k], f[j-2^{k}+1][j]\}\)

树上倍增（求解LCA）

预处理

首先结合dfs预处理出\(f[i][j]\)，\(f[i][j]\)表示节点\(i\)向上跳\(2^{j}\)层的节点

递推公式：

\(f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]\)

即节点\(i\)分两次向上跳，每次跳\(2^{j-1}\)层跳到的节点就是节点\(i\)向上跳\(2^{j}\)层的节点（\(2^{j-1}\times 2=2^{j}\)）

void dfs(int x, int fa){
    dep[x]=dep[fa]+1;
    f[x][0]=fa;
    for(int j=1;(1<<j)<=dep[x];j++)
        f[x][j]=f[f[x][j-1]][j-1];
    for(int i=0;i<mp[x].size();i++)
        if(mp[x][i]!=fa)
            dfs(mp[x][i], x);
}

同时也可以顺便预处理出\(log^{n}_{2}\)的所有值以优化常数

查询

首先使两个查询节点跳至同一高度后（因为它们的最近公共祖先不可能低于这两点，跳跃方法同下），当前层记为\(x\)，然后从\(log^{x}_{2}\)到0枚举（递减能保证可以完全分解成二进制）\(j\)，如果上跳\(2^{j}\)层后不重合，那么就继续跳，重合则不跳，使两点层数一直逼近最近公共祖先，最后跳完\(2^{0}\)层后，两点必定会停在最近公共祖先的下一层，所以最后直接取当前层\(i\)的\(f[i][0]\)就好了。

其中，每次取得k的while((1<<t)<=dep[a])循环可以如前文提到的那样先打表出\(log^{n}_{2}\)的所有值以优化常数

int lca(int a, int b){
    if(dep[a]<dep[b])
        swap(a,b);
    int t=0;
    if(dep[a]!=dep[b]){
        while((1<<t)<=dep[a]) t++;    t-=1;
        for(int i=t;i>=0;i--){
            if(dep[a]-(1<<i)>=dep[b])
                a=f[a][i];
        }
    }
    if(a==b)    return a;
    t=0;
    while((1<<t)<=dep[a]) t++;    t-=1;
    for(int i=t;i>=0;i--)
        if(f[a][i]!=f[b][i])
            a=f[a][i], b=f[b][i];
    return f[a][0];
}

倍增入门

标签：一段   公共祖先   区间合并   方法   span   递推公式   inline   class   递推   

原文地址：https://www.cnblogs.com/santiego/p/9737892.html